高数D11函数极限连续

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1、二、典型例题分析与解答第一章机动目录上页下页返回结束函数极限连续(31)一、知识点与考点机动目录上页下页返回结束一、知识点与考点(一)函数(1).函数概念的两个要素:定义域D与对应法则f.(2).求函数的定义域D.①②③1.函数概念⑤④机动目录上页下页返回结束2.基本初等函数①幂函数:②指数函数:③对数函数:④三角函数:⑤反三角函数:由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算及有限次的函数复合步骤构成的用一个解析式表示的函数称为初等函数.3.初等函数:机动目录上页下页返回结束1.数列极限2.数列极限

2、的性质及判别法(1)收敛数列极限的性质①若收敛,则其极限唯一.②若收敛,则有界,但其逆不真.(二)极限(2)数列收敛的判别法①单调有界准则:单调有界数列②夹逼准则:若当时,有则必收敛.4.函数极限.机动目录上页下页返回结束5.单侧极限.(1)左极限:(2)右极限:6.函数极限的运算法则若机动目录上页下页返回结束则有:7.函数极限的性质:定理1.(函数极限存在的充分必要条件)定理4.机动目录上页下页返回结束(函数极限的保号性)定理3.若则当时,定理2.(函数极限保号性定理的逆定理)若且当时,则定理5

3、机动目录上页下页返回结束(函数极限的夹逼准则)设在内恒有且则存在,且8.无穷小与无穷大无穷小:以0为极限的变量称为无穷小量.(1)概念:若函数f(x)的无穷大:在自变量的某一变化过程中,的绝对值无限增大,则称函数f(x)为无穷大量.(2)无穷小与无穷大的关系机动目录上页下页返回结束定理7.在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小,非零无穷小的倒数为无穷大.(3)无穷小的运算性质①有限个无穷小的代数和仍为无穷小.②有限个无穷小的乘积仍为无穷小.③有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小.(4)无穷小的

4、比较(无穷小的阶)机动目录上页下页返回结束设则称(x)是比(x)高阶的无穷小量.①若记为(x)=o((x)).②若则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.③若则称(x)是与(x)同阶的无穷小量.④若则称(x)是与(x)等价的无穷小量.记为(x)~(x).机动目录上页下页返回结束⑤若则称(x)为(x)的k阶无穷小量.(5)常用的等价无穷小量x→0时,9.求未定式极限的洛必达法则设函数f(x),g(x)满足条件:①机动目录上页下页返回结束则有②只有③内可导,存在,(或为∞);注

5、释:①改变条件可得x→∞时,型未定式的洛必达法则,以及型的未定式的洛必达法则.时②型的未定式才可用洛必达法则,③每用一次洛必达法则都应将式子化简.只要是型的未定式洛必达法则就可用一直用下去.④为简化运算经常将洛必达法则与等价无穷小代换结合使用.机动目录上页下页返回结束10.等价无穷小的代换定理设则有11.求极限的重要公式(1)两个重要极限(2)“抓大头”公式第二节目录上页下页返回结束(3)趋近快慢x→+∞时,函数趋于+∞的速度(4)常用极限不存在.不存在.不存在.不存在.的快慢比较.+∞相应地函数

6、有增量(三)连续1.函数连续性的定义设函数f(x)在内有定义,处给x以如果定义1.则称函数f(x)在刘徽目录上页下页返回结束增量x,处连续.定义2.若函数f(x)同时满足条件:①f(x)在的某邻域内有定义;②存在;③则称函数f(x)在处连续.注释:判断分段函数在分界点处的连续性用定义2方便.定义3若函数f(x)在(a,b)每一点都连续,在左端点a处右连续,则称函数f(x)在[a,b]上连续.(即定义4则称函数机动目录上页下页返回结束f(x)在(a,b)内连续.若函数f(x)在(a,b)内连续,在

7、右端点b处左连续,(即2.连续函数的运算连续的函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数.定理1:定理2.连续函数的复合函数仍为连续函数.若一切初等函数在其定义区间内均为连续函数.定理4.定理3.机动目录上页下页返回结束一切基本初等函数在其定义域内均为连续函数.是初等函数f(x)定义区间内的一点,则有:3.函数的间断点定义5处出现下列三种情形之一:(1)f(x)在处无定义;(2)不存在;(3)则称为f(x)的间断点.若f(x)在4.间断点的类型机动目录上页下页返回结束(1)第一类间断点:若则称

8、为可去间断点.若均存在的间断点.则称为跳跃间断点.(2)第二类间断点:第一类间断点以外的其它间断点.若之中有一个为∞,则称为无穷间断点.5.闭区间上连续函数的性质性质1(最值定理)设函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必取得其最大值M和最小值m.性质2.(有界定理)机动目录上页下页返回结束是介于M和m之间的设函数f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界.性质3(介值定理)设函数f(x)在[a,b]上连续,任一实数,则在(a,b)内至少存在一点