第1章函数与极限习题解答

《第1章函数与极限习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1章函数与极限习题解答第1章函数与极限习题解答1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.解不一定.例如,当x®0时,a(x)=2x,b(x)=3x都是无穷小,但,不是无穷小.2.函数y=xcosx在(-¥,+¥)内是否有界？这个函数是否为当x®+¥时的无穷大？为什么？解函数y=xcosx在(-¥,+¥)内无界.这是因为"M>0,在(-¥,+¥)内总能找到这样的x,使得

2、y(x)

3、>M.例如y(2kp)=2kpcos2kp=2kp(k=0,1,2,×××),当k充分大时,就有

4、y(2kp)

5、>M.当x®+¥时,函数y=xcosx不是无穷大.这是因为"M>0

6、,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有

7、y(x)

8、>M.例如(k=0,1,2,×××),对任何大的N,当k充分大时,总有,但

9、y(x)

10、=00,在(0,1]中总可以找到点xk,使y(xk)>M.例如当(k=0,1,2,×××)时,有,当k充分大时,y(xk)>M.当x®0+时,函数不是无穷大.这是因为"M>0,对所有的d>0,总可以找到这样的点xk,使0

11、,xk

12、小概念题(1)当x®0时,2x-x2与x2-x3相比,哪一个是高阶无穷小？解因为,所以当x®0时,x2-x3是高阶无穷小,即x2-x3=o(2x-x2).(2)当x®1时,无穷小1-x和(ⅰ)1-x3,(ⅱ)是否同阶？是否等价？解(ⅰ)因为,所以当x®1时,1-x和1-x3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(ⅱ)因为,所以当x®1时,1-x和是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.7第1章函数与极限习题解答7.利用等价无穷小的性质,求下列极限:解(1).(2).(3).(4)因为，(x®0)，(x®0)，(x®0),所以.8.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属

13、于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1)，x=1，x=2；解.因为函数在x=2和x=1处无定义,所以x=2和x=1是函数的间断点.因为,所以x=2是函数的第二类间断点;因为,所以x=1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x=1处,令y=-2,则函数在x=1处成为连续的.(2),x=kp,(k=0,±1,±2,×××)；解函数在点x=kp(kÎZ)和(kÎZ)处无定义,因而这些点都是函数的间断点.因(k¹0),故x=kp(k¹0)是第二类间断点;因为,(kÎZ),所以x=0和(kÎZ)是第一类间断点且是可去间断点.令y

14、x=0=1,

15、则函数在x=0处成为连续的;7第1章函数与极限习题解答令时,y=0,则函数在处成为连续的.(3)x=0；解因为函数在x=0处无定义,所以x=0是函数的间断点.又因为不存在,所以x=0是函数的第二类间断点.(4)，x=1。解因为,,所以x=1是函数的第一类间断点，跳跃间断点。9.讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类型.解.在分段点x=-1处,因为,,所以x=-1为函数的第一类间断点，跳跃间断点。在分段点x=1处,因为,,所以x=1为函数的第一类间断点，跳跃间断点。10.求下列极限:解(1).(2).(3)7第1章函数与极限习题解答.(4).(5).(6).因为，

16、，所以.(7)。11.设函数,应当如何选择数a,使得f(x)成为在(-¥,+¥)内的连续函数？解要使函数f(x)在(-¥,+¥)内连续,只须f(x)在x=0处连续,即只须.因为,,所以只须取a=1.12.证明题(1)证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1,2]上的连续函数.因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1,2)内至少有一点x(1

17、间.7第1章函数与极限习