[数学]第1章函数与极限

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1、教师教案教师：课程：数学班级：教学时数：2第周星期第节授课方法引导式章节、课题第一章函数与极限1.1函数的概念目的要求1、深刻理解函数的定义、两要素。2、掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法3、会求函数的定义域。4、熟练掌握函数的性质.教学重点函数的定义及两要素教学难点函数的性质。教具常规教学习题或实验练习题1.11—4课后记录在高中的基础上进一步复习巩固，效果很好。共页前言：高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异．它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分

2、的基本概念及性质．本章主要学习函数的概念及其基本性质、初等函数、反函数；数列与函数的极限及运算；连续函数的概念等知识，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础．第一章函数1.1函数的概念与性质1.1.1函数的概念我们先观察下面例子：一个圆柱的玻璃杯，底面积为15cm2，杯子的高是10cm。设杯中水的高为hcm，水的体积为Vcm3。请你用给出的条件表示水的体积V。答案：V=15h显然，当h改变时，V就会随之改变，其中h的取值范围是O≤h≤10或[0,10]在题中，h和V都是变量，如果我们分别用x替换h，用y替换V，那么将会写作：y=15x，x∈[0,10]，这就是函数关系。关于函数的定义，在1

3、7世纪之前，一直与公式紧密关联，到了1837年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet,1805-1859）抽象出了直至今天为人们易于接受，并且较为合理的函数定义。1．函数的定义定义设有两个变量和，如果当变量在某一实数范围内任意取定一个数值时，按照一定的对应关系，变量有唯一确定的值与之对应，则称变量为变量的函数，记作，　　　　　其中叫做自变量，叫做因变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域．对于确定的，函数所对应的y的值，叫做当=时函数的函数值，记作或y．全体函数值构成的集合叫做函数的值域，记作．2．函数的两要素由函数的定义可知，定义域和对应关系称为函数的两个要素．两函数相同的充分必要条件是其定

4、义域与对应关系分别相同．例1．判断下列函数是否是同一个函数(1)与(2)与（3）和解：（1）函数与，它们的定义域不同，所以它们是不同的函数．（2）函数和，它们的定义域相同，都是实数集，但因为显然，只有当时，它们的对应关系才相同，所以这是两个不同的函数．（3）函数和，它们的定义域和对应关系分别相同，所以它们表示的是同一个函数．1.1.2函数的表示方法表示函数的方法，最常用的通常有三种：解析法、列表法和图象法．1．解析法解析法也称公式法，是用数学公式（表达式）表示函数自变量和因变量之间的对应规则，它有显式、隐式和参数式之分，例如：、、．2．列表法oxy列表法是把自变量及相应的函数值用表格的形式体现

5、出其对应规则．例如平方根表、三角函数表、对数表、利息表和许多会计报表等都是用列表法表示函数之间的对应关系．3．图象法图象法是指在直角坐标系中，用一条曲线来表示函数之间的对应关系．如用图象法可以表示为见图1.1图1.11.1.3函数的定义域求函数的定义域时，应当注意两个原则：一是在考虑实际问题时，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域．二是对于用数学式子表示的函数，它的定义域应由函数表达式本身来确定，即要使运算有意义．例2求函数的定义域：解：要使函数有意义，须满足：解得：∴函数的定义域是：1.1.4函数的性质1．单调性定义若对于区间I内任意两点，当时，有，则称函数在I上单调增加，区间I称为单调增

6、区间；若当时，有，则称函数在I上单调减少，区间I称为单调减区间；单调增区间和单调减区间统称为单调区间．单调区间可以是函数的整个定义域，也可以是定义域的一部分．例如，函数的单调区间是它的定义域．而对于函数，在内是单调减少的，在内是单调增加的，所以它的单调区间是和，而在整个定义域内是不单调的．2．奇偶性定义设函数的定义域关于原点对称，若对于任意，都有，则称函数为偶函数；如果，则称函数为奇函数．注偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称．3．周期性定义设函数，如果存在不为零的数，使得对于定义域内的每一个，都有，则称为周期函数．不为零的数称为周期，周期函数的周期可能有无数多个，如的周期是，我

7、们把最小的称为最小正周期．注我们说的周期函数的周期是指最小正周期．例如，函数和的周期为；函数和周期为；函数周期为是．4．有界性定义设函数在某区间上有定义，若存在正数，对于任意的，都有，则称在区间上有界．例如，函数在区间内和函数在区间内都是有界的；而函数在区间内和函数在区间内都是无界的，但函数在区间（1，2）内则是有界的，函数在区间内仍是无界的．例3．若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．函数在