第1章 函数与极限

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1、《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案第一章函数与极限微积分是高等数学的主要部分，函数是微积分研究的主要对象，极限的方法是微积分的基本方法，本章将介绍函数、极限和函数的连续等基本概念，以及它们的一些性质。第一节函数一、函数的概念定义1设给定非空数集D,如果按照某个对应法则，对于D中的每一个数x，都有唯一确定的实数y与之对应，则称y是定义在D上的x的函数，记作y=f（x）。x叫做自变量，y叫做因变量；数集D叫做函数的定义域，f（D）=｛y

2、y=f（x）,xD｝称为函数的值域。函数有三种表示法：解析法、表格法和图象法分段函数：一个函数，在其定义域的不同部分可用不同的解析式表示，这种形式的函

3、数称为分段函数。常见的分段函数有例1符号函数y=sgnx，它的定义域是D=例2绝对值函数例3函数y=，表示不超过x的最大整数，它的定义域值域W=Z二、函数的几种特性1．函数的奇偶性定义2设函数y=f（x），，其中D为对称于原点的数集，（即当）。如果对于任意恒有f（—x）=—f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于任意恒有f（—x）=f（x），则称f（x）为偶函数。由定义可知：函数都是奇函数；函数都是偶函数。注:奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。2．函数的单调性定义3设函数f（x）的定义域为D，区间对于区间I上任意两的两点则称函数f（x）在I上是单调增加的，I叫做单调增区间；当

4、则称函数f（x）在I上是单调减少的，I叫做单调减区间。单调增加和单调减少的函数统称单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间。例4函数是它的单调区间，但在区间内函数不是单调的。第18页共18页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案1．函数的有界性定义4设f（x）是定义在数集D上的函数，若存在正数M，使得对于一切则称f（x）在D上有界，也称f（x）为D上的有界函数，否则称f（x）为D上的无界函数。例5函数在整个数轴上是有界；函数上无界，但在区间(0,1)内有界。2．函数的周期性定义5设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任一x恒成立，则称f（x）为周期函数，T

5、称为f（x）的周期，通常所说的周期函数的周期是指函数的最小正周期。例6为周期的周期函数，函数为周期的周期函数。一、函数的运算对函数除了可以作加、减、乘、除四则运算之外，还有复合运算与反函数运算。1．复合函数引例自由落体运动的动能E是速度v的函数E=,而速度v又是时间t的函数v=gt，物体的动能E与t的关系就是由函数与函数v=gt复合而成。定义6设y=f（u），定义域为，函数u=那么y通过u的联系成为x的函数，则称y为x的复合函数，记为y=其中y=f（u）叫做外函数，u=叫做内函数，u叫做中间变量。说明：函数f和能否构成复合函数的关键是内函数的值域一定要落在外函数的定义域中。例7；由于故不能把中

6、间变量代入，如果要使复合函数有意义，必须把，于是得复合函数复合函数也可由多个函数相继进行有限次复合而成。例如：2．反函数第18页共18页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案D中都有唯一的一个数x使f（x）=y，这就是说变量x是变量y的函数，这个函数称为函数y=f（x）的反函数，记为x=，其定义域为W,值域为D.说明：函数同一坐标平面内的图形是互相重合的；习惯上用x表示自变量，y表示因变量，函数y=f（x）的反函数用表示；则函数在同一平面内的图行关于直线y=x是对称的。例8求函数的反函数。解：由可解得，交换x、y的位置，得所求函数的反函数为，其定义域为（0，1）。函数是互为反函数，且y

7、=f（x）的定义域是值域，而的定义域是y=f（x）的值域，D与f（D）之间是一一对应的。一、初等函数1．基本初等函数下列六种函数称为基本初等函数：（1）常量函数：为常数（2）幂函数：（3）指数函数：（4）对数函数：（5）三角函数：，y=secx，y=cscx（6）反三角函数：。2．初等函数基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得的由一个解析式所表示的函数称初等函数。例如：多项式函数，是初等函数。有理分式函数，其定义域是R中去掉使第18页共18页《高等数学》精品课程—《微积分》部分—电子教案的根后的数集，也是初等函数。在工程技术上常常要用到称为双曲函数的初等函数，其定义为：双曲正弦函数：双曲

8、余弦函数：双曲正切函数：双曲余切函数：由双曲函数的定义，可以得到类似三角函数的一些简单性质：（1）sh0=0，ch0=1；（2）shx在上的奇函数，chx是上的偶函数；（3）上是严格递增函数，上是严格递减函数，在上是严格递增函数；（4）还满足下列恒等式：第二节数列的极限一、数列极限的定义按一定规律排列的一串数称为数列，简记作。数列也可作是定义在正整数集合上的函数（n=1，2，…），称为数列的通项。