届总复习-走向清华北大-47直线平面垂直

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1、第四十七讲直线､平面垂直的判定及其性质回归课本1.直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,就说它们所成的角是0°的角,可见,直线和平面所成的角的范围是(2)直线与平面垂直①定义:如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直,那么就说直线l和平面α互相垂直.②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.③性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

2、注意:(1)定义中的“任意一条”与“所有条”是同义词,不同于“无数条”.(2)判定定理在应用时,一定要明确“平面内的两条相交直线”.(3)直线与平面垂直是直线与平面相交的特例.2.二面角(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角.二面角的平面角:一个平面垂直于二面角α—l—β的棱l,且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB,O为垂足,则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角.二面角的平面角的范围是:0°≤θ≤180°,当两个半平面重合时,θ=0°;相交时0°<θ<180°;共面

3、时θ=180°.(2)两个平面垂直两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(3)两个平面垂直的判定定理及性质定理①平面和平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.②平面和平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.考点陪练1.(2010·改编题)在三棱锥V—ABC中,VA=VC,AB=BC,则下列结论一定成立的是()A.VA⊥BCB.AB⊥VCC.VB⊥ACD.VA⊥VB答案:C2.(2010·改编题)如图,AB是⊙O的直

4、径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有()A.4对B.3对C.2对D.1对答案:B3.菱形ABCD中,∠BAD=60°,如图所示沿对角线BD将△BCD向上折起,使AC=AB,则二面角C—BD—A的余弦值的大小为()答案:A4.(2010·全国卷Ⅰ)正方体ABCD—A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()解析:BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角,在三棱锥D—ACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心

5、H,连接D1H,DH,则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角,设正方体棱长为a,则cos∠DD1H=,故选D.答案:D5.(2010·滨州月考)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l()A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线解析:如果l⊂α,那么,α内的直线m不可能与l异面,所以,选项D不正确.如果l与α相交,那么,α内的直线m不可能与l平行,所以,选项A不正确.如果l∥α,那么,α内的直线m不可能与l相交,所以,选项B不正确.在上述三种情况下,α内总存在直线m,使得m⊥l.答案:C类型一线线垂直解题准备:判定直线

6、与直线垂直的方法:(1)计算两直线所成的角为90°(包括平面角与异面直线所成的角).(2)线面垂直的性质(若a⊥α,b⊂α,则a⊥b).(3)a·b=0⇔a⊥b.【典例1】如图,α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,求证:CD⊥AB.[分析]要证CD⊥AB,只需证CD⊥平面ABE即可.[证明]∵α∩β=CD,∴CD⊂α,CD⊂β.又EA⊥α,CD⊂α,∴EA⊥CD,同理EB⊥CD.EA∩EB=E,∴CD⊥平面EAB.∵AB⊂平面EAB,∴AB⊥CD.[反思感悟]证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共

7、面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理,等腰三角形的性质等.若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明.类型二线面垂直的判定和性质解题准备:1.判定定理可以简单的记为“线线垂直⇒线面垂直”,定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”.2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,即3.直线和平面垂直的性质:(1)垂直于同一个平面的两条直线平行.(2)如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.(3)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直;过一点有且只有一个平面和已知直线垂直.(

8、4)如果一条直线与两个平面都垂直,那么这两个平面平行.【典例2】如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M､N分别是AB､PC的中点,若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.[证明]如