届总复习-走向清华北大-13函数应用

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1、第十三讲函数模型及其应用回归课本1.三种常见的函数模型(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,表现为指数爆炸.随着x的增大,y=logax(a>1)的增长速度会越来越慢.(2)随着x的增大,y=ax(a>1)的图象逐渐表现为与y轴趋近平行.而y=logax(a>1)的图象逐渐表现为与x轴趋近平行.(3)当a>1,n>0时,对于函数y=xn,y=

2、ax,y=logax在x∈(0,+∞)时,函数y=ax的增长速度远远大于函数y=xn的增长速度.而函数y=xn的增长速度远远大于函数y=logax的增长速度.因此总会存在一个x0;当x>x0时,总有ax>xn>logax.2.形如f(x)=x+(a>0,x>0)的函数模型有广泛应用,利用基本不等式可求其最小值为3.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤是:第一步,审题,设出变量;第二步,根据所给模型,列出函数关系式;第三步,解函数模型;第四步,再将所得结论转译成具体问题的解答.考点陪练1.下列函数中随x的增大而增大速度最快的是()

3、答案:A2.今有一组实验数据,如下表:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01则最佳的体现这些数据关系的函数模型是()A.v=log2tB.v=2t-2C.v=D.v=2t-2答案:C3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数答案:D4.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过800元不超过4000元的按超过8

4、00元的14%纳税,超过4000元的按全稿费的11%纳税.某人出了一本书,共纳税420元,这个人的稿费为()A.3600元B.3800元C.4000元D.4200元答案:B5.某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96元抛售,该年银行月利率0.8%,按月计算,为获取最大利润,某人应将钱((1+0.8%)12≈1.10034)()A.全部购买股票B.全存入银行C.部分购买股票､部分存入银行D.购买股票或存入银行均一样答案:B类型一一次函数与分段函数解题准备:分段函数模型:①分段函数在不同的区间中具有不同的解析式

5、.②分段函数是一个函数,其定义域为各段自变量取值集合的并集,其值域为各段值的集合的并集.【典例1】电信局为了配合客户不同需要,设有A､B两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分).(注:图中MN∥CD)试问:(1)若通话时间为2小时,按方案A､B各付话费多少元?(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠?[分析]由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同,因此,需分段列式.[解]由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,

6、不妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意解题.(1)由图知点M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x),[反思感悟](1)现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如出租车费用､个人所得税､话费等,分段函数是刻画现实问题的重要模型.(2)分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同,要注意各段变量的范围,特别是端点值,尤其要注意.类型二二次函数模型解题准备:二次函数模型的理解二次函数是我们比较熟悉的函数模型,建立二

7、次函数模型可以求出函数的最值与范围,解决实际中的优化问题,值得注意的是一定要分析自变量的取值范围,利用二次函数的配方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数问题的特点.【典例2】某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业.分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0

8、]“保证第二产业的产值不减少”转译的数学语言是一个“二次不等式模型”,“该市第二､三产业的总产值增加最多”转译为数学语言是一个“二次函数的最值问题”.[解]设分流出x万人,为保证第二产业的产值不减少,必须满足(100-x)·a·(1+2x%)≥100a.因为a>