洛比塔法则与高中数学老师版

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1、专题：利用洛必达法则巧解高中数学一．定理内容洛必达法则：设函数、满足：（1）（或）；（2）在内，和都存在，且；（3）（可为实数，也可以是）.则.【热身练习】(1)求(2)求（3）求　解：（1）（2）（3）二．定理应用例1、(06年全国卷II理第20题)设函数。若对所有的，都有成立，求实数的取值范围。解：当时，显然成立，则当时，不等式成立即为。令，对求导得令，则，在上为增函数=0，所以>0，所以在上是增函数。，所以。综合上述所知：例3、(06年重庆卷理第20题)已知函数，其中为常数。(I)若，讨论函数的单调性；(I)(II)若，且试证

2、：（2011新）例：已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.（Ⅰ）略解得，.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法由（Ⅰ）知，所以.考虑函数，则.(i)当时，由知，当时，.因为，所以当时，，可得；当时，，可得，从而当且时，，即；（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.（iii）当时，，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.注：分三种情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，

3、这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.当，且时，，即，也即，记，，且则，记，则，从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.例（

4、2010新）：设函数.（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当时，，即.①当时，；②当时，等价于.记，则.记，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，所以当时，所以，因此.综上所述，当且时，成立.自编：若不等式对于恒成立，求的取值范围.解：应用洛必达法则和导数当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，，即有.

5、故时，不等式对于恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：（1）可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；③出现“”型式子.2010海南宁夏文（21）已知函数.（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.解：（Ⅱ）应用洛必达法则和导数时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，所以，即有.综上所述，当，时，成立.2010全国大纲理（22）设函数.（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，

6、，求的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数由题设，此时.①当时，若，则，不成立；②当时，当时，，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，即有，所以.综上所述，的取值范围是.（2008）例：设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）．当（）时，，即；当（）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数．（Ⅱ）应用洛必达法则和导数若，则；若，则等价于，即则.记，

7、因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，而.另一方面，当时，，因此.1.(2010年全国新课标理)设函数。(1)若，求的单调区间；(2)若当时，求的取值范围原解：（1）时，，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，，而，于是当时，.综合得的取值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增

8、函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。原解：（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即