高数：导数与微分的计算方法、洛比塔法则

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1、第三讲：导数与微分的计算方法1导数与微分的四则运算2复合函数的导数和微分3隐函数的导数4对数求导法5参数方程所确定函数的导数6n阶导数1四则运算（一）和、差、积、商的求导法则定理推论（二）例题分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得例6解（三）小结注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.2反函数、复合函数的导数定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例1解同理可得例2解特别地二、复合函数的求导法则定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)推广

2、例3解例4解例5解例6解例7解三、小结反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)隐函数的导数对数求导法参数方程所确定函

3、数的导数一、隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解二、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:例4解等式两边取对数得例5解等式两边取对数得一般地三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例6解所求切线方程为例8解五、小结隐函数求导法则:直接对方程

4、两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;思考题思考题解答不对．6高阶导数定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求法举例例1解由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2解例3解注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4解同理可得例7解例8解思考题设连续，且，求.思考题解答可导不一定存在故用定义求定义例如,定理定义这种在一

5、定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证定义辅助函数则有例1解例2解例3解例4解例5解注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.例6解例7解关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.步骤:例8解步骤:步骤:例9解例10解例11解例12解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件．三、小结洛必达法则