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时间:2020-07-25
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1、三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第四节机动目录上页下页返回结束洛必塔法则第三章微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限转化(或型)本节研究:洛必达法则洛必达目录上页下页返回结束一、定理1.型未定式(洛必达法则一)机动目录上页下页返回结束(在x,x0之间)证:无妨假设在指出的邻域内任取则在以x,x0为端点的区间上故满足柯西定理条件,机动目录上页下页返回结束推论1.定理1中换为之一,推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则定理1目录上页下页返回结束例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!机动
2、目录上页下页返回结束例2.求解:原式机动目录上页下页返回结束例3.求解:原式例4.求解:原式思考:如何求(n为正整数)?机动目录上页下页返回结束二、型未定式定理2.证:仅就极限存在的情形加以证明.(洛必达法则二)机动目录上页下页返回结束1)的情形从而机动目录上页下页返回结束2)的情形.取常数可用1)中结论机动目录上页下页返回结束3)时,结论仍然成立.(证明略)说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.定理2目录上页下页返回结束例5.求解:原式机动目录上页下页返回结束例6.求解:原式机动目录上页下页返回结束(参考)例7.求解:(1)n为正整
3、数的情形.原式(2)n不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数k,使当x>1时,机动目录上页下页返回结束例8.求解:原式机动目录上页下页返回结束说明:1)每次使用法则时,都需要判断是否满足条件。例如,而用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.机动目录上页下页返回结束3)条件是充分非必要的。若例如,极限不存在机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例9.求解1:原式解2:注意到原式机动目录上页下页返回结束例9.求机动目录上页下页返回结束例10.求解:原式三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例
4、11.求解:原式机动目录上页下页返回结束解:原式例12.求机动目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例13.求解:利用例11例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化例14.求解:例5目录上页下页返回结束例15.求解:例5目录上页下页返回结束例16.求分析:为用洛必达法则,必须改求法1用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法2~原式例3目录上页下页返回结束内容小结洛必达法则令取对数机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限说明目录上页下页返回结束原式~分析:分析:3.原式~~机动
5、目录上页下页返回结束则4.求解:令原式机动目录上页下页返回结束洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出机动目录上页下页返回结束求下列极限:解:备用题机动目录上页下页返回结束令则原式=解:(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)机动目录上页下页返回结束解:原式=第三节目录上页下页返回结束
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