高数课件导数与微分

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1、第二章倒数与微分第一节倒数的概念一.变速直线运动的速度问题1.汽车的行驶在很短的时间内，我们用平均速度来近似的代替瞬时速度，当很小时，近似程度就越好,此时由近似值就过渡到精确值汽车在t+内的行驶路程为，在t时刻的速度v(t)=例已知自由落体运动方程S=1/2gt2求（1）落体在t0到t0+这段时间内的平均速度；（2）落体在t=t0时的瞬时速度；（3）落体在t=10s到t=10.1s这段时间内的平均速度；（4）落体在t=10s时的瞬时速度。（1）（2）由上式知，t=t0时的瞬时速度为：（3）当t0=10,=0.1s时，平均速度为（4）当t=10s时，瞬时速度为二.曲线的切线问题与曲线只有一个

2、交点的直线为圆的切线，y=x2在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义，但在实际中切线只有一条导数的定义定义2-1设函数y=f(x)在点x0及其邻域有定义，当自变量x在点x0处取得增量时，相应函数y取得增量如果存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记做，即=比值反映自变量时，函数的平均变化率；导数反映函数在点x0处的瞬时变化率，即函数随自变量变化而变化的快慢程度；若函数y=f(x)在区间（a,b）内每一点都可导，则称函数y=f(x)在区间（a,b）内可导；导函数简称导数求导数的步骤（1）求增量：（2）算比值：（3）取极限：常见的导数公式（常数的

3、导数等于零）幂函数对数函数指数函数导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数表示曲线y=f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率k,k=tan=函数在点M（x0,f(x0)）处的切线方程函数在点M（x0,f(x0)）的法线方程例2-7求曲线在点（4,2）处的切线方程和法线方程。例2-8曲线上何处的切线平行于直线y=x+1。可导的充要条件定义2-2若存在，则称其为函数y=f(x)在点x0处的左导数，记作，即=同样，如果存在，则称其为函数y=f(x)在点x0处的右导数，记作，即=因此，函数y=f(x)在点x0处可导的充要条件是左右导数存在且相等，即=例2-9讨论函数y=f(x)=在点x

4、=0处的可导性。可导与连续的的关系定理2-1若函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必连续。若函数y=f(x)在点x处连续，则它在该点处不一定可导。例2-11讨论函数y=f(x)=在点x=1处的连续性与可导性。连续性左极限=右极限=函数值可导性左导数=右导数第二节函数的和、差、积、商求导法则一、函数的和、差、积、商的导数定理2-2（导数的四则运算的法则）若函数u=u(x),v=v(x)都是x的可导函数，则（1）也是x的可导函数，且（2）u*v也是x的可导函数，且（3）也是x的可导函数，且特别（4）（5）例2-12求例2-13求例2-14例2-15例2-16例2-17求y=tanx的导数

5、；例2-18求y=secx的导数；例2-19求函数的导数，并求例2-20求函数的导数第三节反函数与复合函数的导数一反函数的导数定理2-3设为直接函数，是它的反函数，如果在区间I内严格单调、可导，且，那么它的反函数在对应的区间内可导，且有结论概括：反函数的导数等于它的原函数导数的倒数例2-21求的导数例2-22求的导数基本初等函数的导数公式（常数的导数等于零）幂函数三角函数反三角函数对数函数指数函数二复合函数的导数定理2-4（复合函数求导法则）若函数在点x处可导，函数在对应点u处可导，则复合函数在点x处可导，且例2-23例2-24例2-25例2-26例2-27例2-28例2-29例2-30第

6、四节隐函数、幂指函数及参数式函数的导数一隐函数的导数用自变量x表示y的函数即，如y=3x+1,y=lnx+sinx等，称之为显函数；函数y与自变量x的关系由方程F（x,y）=0表示的函数称为隐函数，如3x-y+1=0,xy+x+1=0等。隐函数的求导法则：方程两边同时对自变量x求导，得到一个含的方程式，从中解出即可。注：方程两边对x求导，是指遇到x时，可直接求出其导数；遇到y或y的函数时，把y看成中间变量，按照复合函数的求导法则先对y求导，再对x求导。例2-31求由方程所确定的函数y对自变量x的导数例2-32求由方程所确定的隐函数y对自变量x的导数例2-33求曲线上点（3,-4）处的切线方

7、程和法线方程二幂指函数的导数形如的函数称为幂指函数。如等幂指函数求导方法：1.对数求导法2.指数求导法1.对数求导法步骤：1）两边取对数2）方程两边同时对X求导，得到一个关于的方程式，从中解出2.指数求导法例2-34求函数的导数例2-35设例2-36求函数的导数三参数式函数的导数定理2-5设函数由参数方程所确定，当都可导，且，则由参数方程所确定的函数（参数式函数）的导数为例2-37求参数方程的导数例2-38求曲线在处的切