任意角三角函数定义

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1、任意角的三角函数定义一、复习引入回忆：初中时学过的锐角三角函数的定义ACB在RT△ABC中，思考：任意角的三角函数如何定义呢？二、探索研究探究：在直角坐标系中，锐角的三角函数能用其终边上的点的坐标表示吗？OxyM记===思考：当点P在终边上的位置改变时，上述三个值会随之改变吗？任意角三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：（1）y叫做α的正弦（sine），记作sinα，即sinα＝y（2）x叫做α的余弦（cosine），记作cosα，即cosα＝x（3）叫做α的正切（tang

2、ent），记作tanα，即tanα＝（x≠0）OxyP(x，y)统称为三角函数三、知识运用【例1】：如图已知角α的终边与单位圆的交点是，求角α的正弦、余弦和正切值。解：根据任意角的三角函数定义：Oxy点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。OxyP（x，y）M点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。分析：解RtΔOMP可得点，故【例2】：求角的正弦、余弦和正切值。【练习】1、已知角β的终边过点，求角β的三个三角函数值。2、求角的三个三角

3、函数值。3、求角的三个三角函数值。思考：已知角α的终边经过点，求角α的正弦、余弦和正切值。Oxy分析：∽已知角　的终边经过　　　　，求　的3个三角函数值．提问：求　的3个三角函数值呢？若将　　　　改为　　　　　　　　，如何分　　　，　　　两种情形讨论．（1）角　的终边在直线　　　上，求　的3个三角函数值．※（4）说明　　　　　　　　的理由　　　．四、课时小结1、任意角三角函数的定义：若已知角α终边与单位圆交于点P(x，y)，则：2、解题方法总结（1）已知交点P的坐标，直接用定义（2）已知角，则先求交点P的坐标

4、再用定义特殊角的三角函数值度弧度探究：三角函数定义域1.三角函数的定义域()()()()()()()()()()()（）++--++--++--口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦.”2.三角函数值在各象限的符号例1求证：当且仅当下列不等式组成立时，角为第三象限角.①②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来请同学们自己证明.BC例练习思考：

5、如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.例2确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：（1）因为是第三象限角，所以；（2）因为=，而是第一象限角，所以；练习确定下列三角函数值的符号（3）因为是第四象限角，所以.例3求下列三角函数值：（1）（2）解：（1）练习求下列三角函数值（2）例4强化训练C、DC3DB知识探究（一）：正、余弦线思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位

6、圆的交点为P（x，y），则，都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？P（x，y）OxyM思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？P（x，y）OxyM思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.定义：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线或与有向直线平行，根据有向线段AB与有向直线方向相同和

7、相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量。········ABCAAB=4BA=–4CB=–2思考4：由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP=sinα，OM=cosα。如图：P(x，y)OxyMP(x，y)OxyM那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？P(x，y)OxyMP(x，y)OxyM思考5：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？OxyPOxyPPP定义：设角α的终边与单位圆的交点为

8、P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.POxyM思考6：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα>1吗？POxyMMP＋OM>OP=1知识探究（二）：正切线AT思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyMAT思考2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为