[理学]药学高数30习题九

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1、11.已知函数是微分方程的解,试求的表达式解：112.(1)12.(2)解:解:分离变量:两边积分212.(3)解:分离变量:两边积分得312.(4)(1+y2)dx=x(x+1)ydy解:412.(5)解：512.(6)解：612.(7)解：712.(8)解：812.(9)解：912.(10)解：1012.(11)解：1113.求下列一阶微分方程的特解(1)解：1213.(2)解:1313.(3)解：1413.(4)解：1513.(5)解：1613.(6)解:1714.解：1815.(2)解:1915.(3)y=y+x解:令y=p(x)则p-p=x2015.(4)

2、x2y=(y)2+2xy解:令y=p(x),y=p212215.(5)(y)2-y=0解:令y=p(x),则2315.(6)y=1+(y)2解:令y=p(x),则2416.(1)y=sin2xy

3、x=0=0,y

4、x=0=0解：2516.(2)y=e2xy

5、x=1=y

6、x=1=0解：2616.(3)(1+x2)y=2xyy

7、x=0=1,y

8、x=0=3解：2716.(4)y=2yyy

9、x=0=1,y

10、x=0=2解：2816.(5)y=e2yy

11、x=0=y

12、x=0=0解：293016.(6)y=1-y2y

13、x=0=y

14、x=0=

15、0解：3121.(1)y-2y-3y=0解:特征方程r2-2r-3=0(r-3)(r+1)=0特征根r=3,r=-1方程的通解为:y=C1e3x+C2e-x21.(2)y-6y+9y=0解:特征方程r2-6r+9=0(r-3)2=0特征根r=3,方程的通解为:y=C1e3x+C2xe3x3221.(3)y-2y+5y=0解:特征方程:r2-2r+5=0特征根:r=1±2i方程的通解为:y=ex(C1cos2x+C2sin2x)3321.(4)y+3y+2y=2ex解:特征方程r2+3r+2=(r+2)(r+1)=0,r1=-2,r2=-1齐次方程通解:Y=C

16、1e-2x+C2e-x设非齐次方程的特解为:y*=Aex,y*=Aex,y*=Aex代入方程中:6Aex=2exA=1/3,y*=1/3ex方程通解:y=C1e-2x+C2e-x+1/3·ex3421.(5)y-4y+5y=e2xsinx解:r2-4r+5=0,r=2±iY=e2x(C1cosx+C2sinx)y*=xe2x(Acosx+Bsinx)y*=e2x[(A+2Bx+Ax)cosx+(B-2Ax+Bx)sinx]y*=e2x[(2A+5Bx+B)cosx+(2B-5Ax-A)sinx]代入方程中:e2x[(2A+5Bx+B)cosx+(2B-5Ax-A

17、)sinx]-4e2x[(A+2Bx+Ax)cosx+(B-2Ax+Bx)sinx]+5xe2x[Acosx+Bsinx]=e2xsinxA=0,B=-1y*=-xexsinx方程通解:y=e2x(C1cosx+C2sinx)-xexsinx3522.(1)y-3y+2y=0y

18、x=0=y

19、x=0=1解:特征方程为r2-3r+2r=0特征根r=1,r=2齐次方程通解为y=C1ex+C2e2xy=C1ex+2C2e2x由初始条件:C1+C2=0C1+2C2=1解得:C1=1,C2=-1方程通解为:y=ex-e2x3622.(2)y-2y+y=0y

20、x=0=0,y

21、

22、x=0=1解:特征方程为:r2-2r+1=0r1=r2=1,方程通解为:y=ex(C1+C2x)y=ex(C1+C2x+C2)由初始条件:C1=0,C1+C2=1解得:C1=0,C2=1方程特解为:y=xex3722.(3)y+25y=0y

23、x=0=2,y

24、x=0=5解:特征方程:r2+25=0,r=±5i方程通解:y=C1cos5x+C2sin5xy=-C1sin5x+5C2cos5xC1=2,5C2=5方程通解:y=2cos5x+5sin5x3822.(4)y-3y+2y=5y

25、x=0=1,y

26、x=0=2解:特征方程r2-3r+2=0解得:r=1,r=2

27、齐次方程通解Y=C1ex+C2e2x设特解y*=A,代入方程中:2A=5y*=5/2方程通解为:y=C1ex+C2e2x+5/2y=C1ex+2C2e2x由初始条件:C1+C2=-3/2C1+2C2=2解得:C1=7/2,C2=5方程特解为:y=7/2ex+5e2x+5/23922.(5)y-3y+2y=x2-2x解:特征方程:r2-3r+2=0,r1=1,r2=2齐次方程通解:Y=C1ex+C2e2x设非齐次方程一个特解为:y*=Ax2+Bx+C,y*=2Ax+B,y*=2A代入方程:2A-6Ax-3B