3确定二次函数的表达式

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1、3确定二次函数的表达式北师版九年级下册如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其表达式吗？情境导入1423290xy思考探究确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.例1若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2),C(-1,2)三点，求此函数的解析式。例1若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2),C(-1,2)三点求此函数的解析式。解：设二次函数表达式为y=ax²+bx+c∵图象过B(0,2)∴ c=2∴ y=ax2+bx+2∵图象过A(2,-4),C(-1,2)两点∴-4=4

2、a+2b+22=a-b+2解得a=-1,b=-1∴函数的解析式为：y=-x2-x+2解法2：（利用顶点式）∵图象过B(0,2),C(-1,2)两点，∴可知其对称轴为x=∴可设解析式为y=a(x+)2+k∵A(2,-4),B(0,2)在图象上，∴-4=a(2+)2+k2=a(0+)2+k∴a=-1,k=∴y=-(x+)2+即y=-x2-x+2例2已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。解法1：（利用一般式）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)由题意知16a+4b

3、+c=-3=3=4解方程组得：a=-7b=42c=-59∴二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59解法2：（利用顶点式）∵ 当x=3时，有最大值4∴顶点坐标为(3,4)设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4∵函数图象过点（4，-3）∴a(4-3)2+4=-3∴ a=-7∴二次函数的解析式为：y=-7(x-3)2+4例3二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。解:二次函数的对称轴为直线x=3设二次函数表达式为y=a(x-3)2+k∵图象过点A(

4、0,5),B(5,0)两点∴5=a(0-3)2+k0=a(5-3)2+k解得：a=1，k=-4∴二次函数的表达式:y=(x-3)2-4即y=x2-6x+5小结:已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h时优先选用顶点式。解：（交点式）∵二次函数图象经过点(3,0),(-1,0)∴设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1)∵函数图象过点(1,4)∴4=a(1-3)(1+1)得a=-1∴函数的表达式为：y=-(x-3)(x+1)=-x2+2x+3例４已知二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式

5、。知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便。其他解法：（一般式）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)∴ a+b+c=4      ①a-b+c=0      ②9a+3b+c=0    ③解得：a=-1b=2c=3∴函数的解析式为：y=-x2+2x+3（顶点式）解：∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，∴(-1+3)/2=1∴点(1,4)为抛物线的顶点可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2+4∵抛物线过点(-1,0)∴0=a(-1-1)2+4得a=

6、-1∴函数的解析式为：y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3归纳：在确定二次函数表达式时（1）若已知图象上三个非特殊点，常设一般式；（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式较为简便；（3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式较为简单。1.请选择最优解法，求下列二次函数表达式。(1)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，2），求此抛物线的表达式？(2)已知抛物线的顶点在y轴上,且经过（-1，-3）和（2，6),求此抛物线的表达式？运用新知顶点式顶点式y=3x2-6(3)已知抛物线的顶点在x轴上，对称

7、轴是直线x=1，且经过（2，3），求此抛物线的表达式？(4)已知一个二次函数的图象经过原点，且过（2，6），（-1，3）求这个二次函数的表达式？一般式，交点式顶点式y=3(x-1)2y=2x2-x2.如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为0.9m．试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二次函数表达式?解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系设它的函数表达式为:y=ax²(a≠0)通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采

8、用的一般方法是什么?（待定系数法）1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;2.设抛物线的表达式;3.写出相关点的坐标;4.列方程(或方程组);5.解方程或方程组,求待定系数;6.写出函数的表达式;课堂小结什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的