函数的极值与最大值最小值(VIII)

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1、第五节函数的极值与最大值最小值（二）一、最值的求法二、应用举例三、小结思考题一、最值的求法⑴最值问题：在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一定的条件下，怎样使“成本最低”、“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题，这类问题一般可化为求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题。⑵最值定义：函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点。⑶最值与极值的区别：①极值是对极值点的某个邻域，最值是对整个定义区间。②极值只能在区间内取，最值可在端点或区间内取得。从以上几段曲线可以看出：最值可以在开区间(a,b)内点处取

2、得，即极值点，也就是有限个驻点与导数不存在的点，同时最值也可以在整个区间的端点处取得。由此可按以下方法进行求最值。【闭区间上的连续函数求极值的步骤】1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,【注意】在实际问题，如果开区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)3.比较2中诸值的大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;二、应用举例【例1】【解】驻点为不可导点有两个为：比较得由于【注意】故由此得敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/

3、分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？点击图片任意处播放暂停【例2】【解】(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点【特别注意】若函数在一个区间（有限或无限、开或闭）内可导且只有一个驻点，且这个驻点是函数的极值点，则这个极值就是函数在这个区间内的最值（如下图示）.常利用此性质证明不等式：如《高数学习指导》P653（9）①—⑧【实际问题求最值应注意】(1)建立目标函数;(2)求最值;【例3】某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房

4、子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？【解】设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为【例4】点击图片任意处播放暂停【解】如图,解得三、小结注意最值与极值的区别.实际问题求最值的步骤.【思考题】【思考题解答】结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但