函数的单调性曲线的凹凸性

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1、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别方法（重点）二、曲线的凹凸性与拐点（重点）三、不等式的证明（重点）四、小结Lagrange定理给出了函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、凹凸、拐点。一、单调性的判别法函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。1.用定义判别第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。从几何

2、图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。这就启示我们：能否利用导数的符号来判定函数的单调性？回答是肯定的。2.用函数导数的符号判别函数的单调性进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的定理1证应用拉氏定理,得⑴⑵注①若在(a,b)内至多有有限个导数等0的点和至多有限个不可导点，而在其余点处均有则由连续性，结论仍成立②此判定法则对其它各种类型的区间仍适用③函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号

3、来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．例1解开区间上讨论，闭区间上结论。例2解3、单调区间求法问题:如上例中，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例3解1·2·＋－＋注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,例4证4.证明不等式（利用函数的单调性）例5证或二级判断利用单调性证明不等式的步骤：①作辅助函数f(x):将要证的不等式作恒等变形（通常是移

4、项）使一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x)②求验证f(x)在指定区间上的单调性③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证二、曲线的凹凸性与拐点前面我们介绍了函数的单调性，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB如右图所示L1，L2，L3虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。L1是“凸”弧，L2是“凹”弧，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。1、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上

5、任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方定义2、曲线凹凸的判定定理1证明分别应用L—定理，得(1)－(2)：由假设⑴⑵同理可证（1）注1.定理的结论可推广到任意区间上；2.利用函数的一阶导数在该区间的符号来判断曲线的单调性；＋－＋－3.利用函数的二阶导数在该区间的符号来判断曲线的凹凸性。记法：例1解01xy例2解注意到,－＋·3、曲线的拐点及其求法1.定义：2.拐点的求法方法1:注：二阶导数等于零或不存在的点，不一定是拐点。例3解凹的凸的凹的拐点拐点例4解0xy方法2:证由保号性定理知由拐点的定义知是曲线

6、的拐点。例5解例5求曲线的拐点解是拐点三、小结1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.2、定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.3、单调性的判别：利用函数一阶导数符号.4、应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.5、曲线的弯曲方向——凹凸性;8、改变弯曲方向的点——拐点;6、凹凸性的判定：利用函数二阶导数符号.7、应用：证明不等式作业第151页1，3（1，3，5）4（1，3）7（1，3）8（1，3，4）9（1），11，12思考题思考题解答例思考题思考题解答不能断定.例但当时，当时

7、，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．