偏导数在最值问题上的应用

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1、9.6偏导数在最值问题上的应用（二）1)建立函数关系2)确定函数在实际中的定义域3)求函数的偏导数4)求出驻点5)判断驻点的唯一性,得出结论基本步骤例1要制造一个无盖的长方体水槽,已知其设计总造价为216元,底部造价为18元/平方米,侧面造价为6元/平方米.问应选取怎样的尺寸,才能使水槽的容积最大?设其容积为V解1:条件极值函数的自变量除限制在定义域内以外,还受其它条件的制约的极值(最值)问题.目标函数约束条件解法1:解法2:化为无条件极值问题来求解拉格郎日乘数法拉格郎日乘数法--拉格郎日函数(1).构造辅助函数设在定义域内均有连续的一阶偏导数,且不同时为

2、零.求目标函数在约束条件下的极值或最值的步骤:拉格郎日乘数法(2).求(3).求出的驻点为可能的极值点(4).若求出的驻点在定义域内唯一,结合实际问题,可得到该驻点就为所求的极值点或最值点.说明:1).拉格郎日乘数法可推广到目标函数为多元函数以及有有限个约束条件的情形中;2).在求驻点时,常常采用比值法,即先通过移项相比寻找自变量之间的关系,再代入约束条件方程来求解.3).拉格郎日乘数法对一元函数的条件极值问题也成立.例1解法2:例2:求内接于半径为R的圆的矩形的最大面积?设矩形长为2x>0,高为2h>0,则面积为S=4xh,且江河中游泳竞赛策略问题例3:设

3、游泳者速度保持u=1.5s/m不变,试求游泳者从起点O到终点D的最短游泳时间和路线?1u2u3uBAL1L2L3在每段上的游泳路线为直线段在每段上u与vi为常数DH3=200H1=200OH2=760(m)v2=2.11s/mv1v1=v3=1.47s/mL=1000m游泳总时间T与方向角i的函数关系i满足L1+L2+L3=L在每段上将u沿水平方向和垂直方向进行分解1u2u3uBAL1L2L3DH3=200H1=200OH2=760(m)v2=2.11s/mv1v1=v3=1.47s/mL=1000m条件极值将数据Hi、vi、L代入，运用拉格

4、郎日乘数法求解Maple数学软件若水流速度为分段连续函数时思考：第2段上的游泳路线及所用时间Ti与水平距离L2前类似第1，3段上考虑用微分方程来表达游泳路线和水平距离L1和L3H3L3AB1D2H1uuO3uL2H2v2=2.11v1=0.0114yv3=0.0114(H-y)L1xy