《D23高阶导数》PPT课件

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1、二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数第二章四、由参数方程确定的函数的导数三、隐函数的导数一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束设求解:依次类推,例1.思考:设问可得机动目录上页下页返回结束例2.设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求机动目录上页下页返回结束例4.设求解:一般地,类似可证:机

2、动目录上页下页返回结束例5.设解:机动目录上页下页返回结束例6.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数机动目录上页下页返回结束二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.机动目录上页下页返回结束例7.求解:设则代入莱布尼兹公式,得机动目录上页下页返回结束例8.设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得机动目录上页下页返回结束内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,机动目录上页下页返回结束

3、思考与练习1.如何求下列函数的n阶导数?解:解:机动目录上页下页返回结束(3)提示:令原式原式机动目录上页下页返回结束解:机动目录上页下页返回结束2.(填空题)(1)设则提示:各项均含因子(x–2)(2)已知任意阶可导,且时提示:则当机动目录上页下页返回结束3.试从导出解：同样可求第四节目录上页下页返回结束解:设求其中f二阶可导.4.机动目录上页下页返回结束三、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)机动目录上页下页返回结束例1

4、.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数机动目录上页下页返回结束例2.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即机动目录上页下页返回结束例3.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导机动目录上页下页返回结束1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:机动目录上页下页返回结束对x求导两边取对数机动目录上页下页返回结束例4四、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,机动目录上页下页返回结束若上述参数方程中

5、二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得机动目录上页下页返回结束?例５.设,且求已知解:解:注意:机动目录上页下页返回结束例6.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导,得故机动目录上页下页返回结束例７.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求机动目录上页下页返回结束①,求解：例８.设方程组两边同时对t求导,得机动目录上页下页返回结束二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用一、微分的概念机动目录上页下页返回结束函数的微分一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积

6、改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其机动目录上页下页返回结束的微分,定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数而称为记作即定理:函数在点可微的充要条件是即在点可微,机动目录上页下页返回结束定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即机动目录上页下页返回结束定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则机动目录上页下页返回结束说明:时,所以时很小时,有近似公式与是等价无穷小,当故当机

7、动目录上页下页返回结束微分的几何意义当很小时,则有从而导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,记作记机动目录上页下页返回结束例如,基本初等函数的微分公式又如,机动目录上页下页返回结束二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数机动目录上页下页返回结束例1.求解:机动目录上页下页返回结束例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:注意目录上页下页返回结束说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意