高等数学课件D23高阶导数

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1、二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动目录上页下页返回结束高阶导数第二章7/17/2021高等数学一、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学定义.若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学设求解:依次类推,例1.思考:设问可得机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学例2.设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例3.设求机动目

2、录上页下页返回结束7/17/2021高等数学例4.设求解:一般地,类似可证:机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学例5.设解:机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学例6.设求使存在的最高分析:但是不存在.2又阶数机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学二、高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数推导目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学例7.求解:设则代入莱布尼兹公式,得机动

3、目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学例8.设求解:即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法(3)间接法——利用已知的高阶导数公式(4)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法如,机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学思考与练习1.如何求下列函数的n阶导数?解:解:机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学(3)提示:令原式原式机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学解:机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学2.(

4、填空题)(1)设则提示:各项均含因子(x–2)(2)已知任意阶可导,且时提示:则当机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学3.试从导出解：同样可求(见P101题4)作业P1011(9),(12);3;4(2);8(2),(3);9(2),(3)第四节目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学解:设求其中f二阶可导.备用题机动目录上页下页返回结束7/17/2021高等数学