D14无穷小量与无穷大量(II)

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1、第一章二、无穷小的等价代换三、无穷大量一、无穷小量及其阶第四节无穷小量与无穷大量当定义1.若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当为时的无穷小量,简称无穷小.时为无穷小.一、无穷小量及其阶定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量,简称无穷小.以零为极限的数列也是当n→∞时的无穷小定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量,简称无穷小.说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然C只能是0!CC注意:函数是否为无穷小与自变量的变化趋势有关!其中(x)为一个无穷小定

2、理1.(无穷小与函数极限的关系)证:仅就的情形证明,其他情形类似.必要性设,则令则其中(x)是当的无穷小,并且充分性设,(x)是当的无穷小则(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;定理2.自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质:证:由已知,f在x0处是局部有界的,故(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;恒有从而故所以(x)f(x)是当时的无穷小.(x)是当的无穷小,定理3.设f是在x0处局部有界的函数,则(x)f(x)是当时的无穷小.(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;(2)有限个无

3、穷小量的乘积是无穷小量;(x)是当的无穷小,定理3.设f是在x0处局部有界的函数,则(x)f(x)是当时的无穷小.(x)是当的无穷小,定理.设f是在内有界(即)则(x)f(x)是当时的无穷小.定理2.自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质:设α(x)与β(x)是自变量x有相同变化趋势的无穷小,且β(x)≠0.定义2(无穷小的阶).则称α(x)是β(x)的高阶无穷小,记作(或当α(x)≠0时,称β(x)是α(x)的低阶无穷小)且c≠0为常数,称α(x)与β(x)是同阶无穷小;则称α(x)与β

4、(x)是等价无穷小,记作则称α(x)是关于β(x)的k阶无穷小,特别取β(x)=x-x0,若则称α(x)是当x→x0时的k阶无穷小.例1.当x→0时,试比较下列无穷小的阶:解:解:解:解:由上例中(2)(3)(4)可得,当x→0时,根据高阶无穷小的定义,上式还可以表示为:当x→0时,注意:并非每个无穷小都有阶数,比如当x→0时,例2.证明:当时,～证:～证明提示:二、无穷小的等价代换定理4.设α(x)与β(x),都是自变量有相同变化趋势的无穷小,若并且则并且例3.利用无穷小等价代换定理求以下极限解

5、:因为所以(2)解:原式注意:应用无穷小等价代换定理求极限时,只能对待求极限函数中的无穷小因子进行.若待求极限的函数表达式中含有函数的加减法运算,则不能对其中的相加与相减的无穷小项进行等价代换.(3)解:三、无穷大量(绝对值无限趋大的变量)定义3.设是一个函数,若即当则称函数f(x)是当时的无穷大量,简称无穷大.时,恒有定义3’.设是一个函数,若即当则称函数f(x)是当时的无穷大量,简称无穷大.时,恒有若在定义中改为则记作注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定

6、无界.但反之不真!例如,函数但不是无穷大!例4.证明证:任给正数M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:若则称直线为曲线的水平渐近线.如下图若为无穷小,且则为无穷大.若为无穷大,为无穷小;则据此定理(1),关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理5.在自变量的相同变化趋势下,有下述结论:说明:(1)有限个无穷大量的乘积是无穷大量;(3)无穷大量与有界量之和是无穷大量.两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量;无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量.注意:

7、大O记号设函数f(x)与g(x)定义在x0的某去心邻域中,若在x0处是局部有界的,则记作.特别地,若f(x)在x0处是局部有界的,则记作f(x)=O(1).例如:谢谢!THEEND