图像信号的正交变换

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1、第三章图像信号的正交变换空域法、频域法处理数字图像。正交变换法主要用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等。一般的变换方式都是线性的。3.1线性系统理论通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的数学基础。一、定义系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其他一切对信号影响的实体。线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。二、研究线性系统的两种方法1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应的调谐输出。2、任何一个系统都有一个实值的冲激响应，它与输入信号的卷积给出对应的

2、输出。傅立叶变换1、背景1768年出生于法国。傅立叶的思想3.2傅立叶变换一、连续周期函数的傅立叶级数二、一维傅立叶变换定义：来源：由傅立叶级数在无穷区间上得到。存在性:被积函数满足具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。一般情况下的函数满足上述条件，但对于周期函数和常值函数，上述积分不存在，这时，需引入冲激函数，可得：在时域和频域抽样，得到离散化的傅立叶变换式（DFT）：三、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的关系1、冲激函数及其性质定义：性质：尺度变换：筛选性质：与普通函数的卷积2、采样和插值时域的相乖相当于频域卷积，因此，

3、时域信号的采样相当于在频域信号与冲激函数卷积，即时域的离散化导致频域的周期化。内插：在频域用一个矩形窗截断，消除其他的复制品，逆变换就得到原来的信号。相当于在时域和一个sinc函数作卷积。3、连续傅立叶变换和离散傅立叶变换的联系抽样、截断。四、傅立叶变换的性质1、对称性：任何一个函数都可表示为奇、偶两部分。即如果将一个复数的实部和虚部都表示为奇和偶，则可得下述变换规则：1、实的偶部产生实的偶部2、实的奇部产生虚的奇部3、虚的偶部产生虚的偶部4、虚的奇部产生实的奇部通常，我们输入的图像总是实数，但变换后将产生虚部。2、加法定理3、位

4、移定理4、卷积定理通过卷积定理可得出，一些在一个域中不好处理的问题，可变换到另一个域中作处理。5、相似性定理6、Rayleigh定理（能量不变定理）定理说明：函数的变换不改变能量，并表现了相似定理表示的意义（当幅值改变时，域也要改变，以保持能量不变）五、二维离散傅立叶变换1、定义设一幅图像的长、宽分别为M、N，则当图像的长宽一致，且同为N时，得：2、性质：可分离性：旋转不变性：将函数在空域旋转一角度，则其频谱在频域也旋转相应的角度。投影将f(x,y)投影到x轴上得到：改写为：六、实例3.3数字图像的正交基表示傅立叶变换的物理意义？

5、变换的数学本质？1.一维离散线性变换（线性方程组）如果变换矩阵T是非奇异的（？），则原向量可通过逆变换：来得到。如：正变换通常看作是一个分解过程：将信号分解成它的各个基元分量，这些基元分量以基向量的形式表示。变换的系数决定了在原信号中各分量所占的量。反变换看作一个合成过程：通过将各分量相加来合成原始向量。变换系数决定了为精确、完全重构输入信号而加入的各个分量的大小。2.二维离散线性变换对于点的矩阵的变换：其中g和h可看作是由点的块矩阵：每一行有N块，共有N行，每一块又是一个的矩阵。如果变换核（g和h）是可分离的，即则二维离散变换可

6、表为：上两式写为矩阵形式：如果变换矩阵为酉矩阵，则满足：更进一步，如果变换矩阵的元素都是实的，则变换矩阵为正交的，此时：大部分情况下，变换矩阵为对称的，则正变换和反变换相同，因此这样，任何一组正交向量集都可用于一个线性变换，但选择不同基向量组，将得到不同的变换结果，图像的正交变换的内容就在于选择合适的图像基函数，以达到不同的用途。将变换的形式写为外积（矢量积）形式，可把图像看作是由基本图像按一定权值的组合。3.3离散余弦变换1.问题的提出：Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此

7、，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。2.离散余弦变换的定义一维DCT变换对：二维DCT：反变换：余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。同时，DCT也有快速计算方法。3.DCT变换的应用：3.4沃尔什变换（walsh）存储空间小、运算速度快。主要用于实时图像处理只包括+1和-1两个数值构成完备正交基。上机内容：1、利用菜单编辑器，编辑一反

8、色菜单项，并编写代码实现图像的反色。2、编辑一快速傅立叶变换的菜单项，并编写相应的消息响应函数，调用给定傅立叶变换函数，实现图像的傅立叶变换。