八年级数学下册三角形的证明3线段的垂直平分线线段垂直平分线的几种应用讲义（新版）北师大版

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1、线段垂直平分线的几种应用【名师点睛】线段的垂直平分线与线段的两种关系：位置关系—垂直，数量关系—平分，利用垂直平分线的这些性质可以求线段的长度。角的度数等，还可以解决试剂生活中的选址等问题。[类型1]线段垂直平分线的性质在求线段中的应用1.如图，△ABC中，AB.AC的垂直平分线交BC于点D. E，已知△ADE的周长为12cm，则BC=______.解答：∵DF、EG分别是线段AB.AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为12cm，即AD+DE+AE=12c

2、m，∴BC=12cm.故答案为：12cm.2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，DE垂直平分AB于点E，交AC于点D.若BC=2cm，求AD的长. 解答：连接BD，∵DE垂直平分AB于点E，交AC于点D，∴AD=BD，∠A=∠ABD.∵∠A=15°，∴∠ABD=15°.在△BDC中，∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°.∵∠C=90°，BC=2cm，∴BD=2CD=4cm，∴AD=4cm.[类型2]线段垂直平分线的性质在求角中的应用3.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知

3、∠ADE=40°，则∠DBC=    °.解答：∵AB=AC，DE垂直平分AB，∠ADE=40°，∴∠ADE=∠EDB=40°，AE=BE，∴∠A=∠ABD=50°.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=12(180°-∠A)=65°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角∠1，∠2，且∠1:∠2=2:5，求∠ADC的度数.解答：设∠1=2x，则∠2=5x.∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴

4、∠B=∠2=5x，∴∠ADC=∠B+∠2=10x.∵∠C=90°，∴∠ADC+∠1=90°，即10x+2x=90°，∴x=7.5°，∴∠ADC=10x=75°.5.已知：如图，在△ABE中，AB，AE边上的垂直平分线m1，m2分别交BE于点C，D，且BC=CD=DE.（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）求∠BAE的度数.解答：（1）证明：∵m1，m2是AB.AE的垂直平分线，∴BC=AC，AD=DE.又∵BC=CD=DE，∴AC=CD=AD，∴△ACD是等边三角形.（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠CAD=∠ACD=∠

5、ADC=60°.∵BC=AC，AD=DE，∴∠ACD=2∠BAC，∠ADC=2∠EAD，∴∠BAC=∠EAD=30°，∴∠BAE=30°+30°+60°=120°.[类型3]线段垂直平分线的性质在实际中的应用6.如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？解答：如图，连接AB.BC，分别作AB.BC的垂直平分线DE.GF，两直线的交点M即为所求.[类型4]线段垂直平分线的判定在判断两线位置关系中的应用7.如图，AD为△A

6、BC的角平分线，AE=AF，请判断线段AD所在的直线是否是线段EF的垂直平分线.如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解答：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.在△AED和△AFD中，∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴DE=DF，∴D在EF的垂直平分线上.∵AE=AF，∴A在EF的垂直平分线上，∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.[类型7]利用线段垂直平分线的性质探究角之间的变化规律8.如图①，在△ABC中，AB=AC

7、,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,∠A=40°.（1）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∠A=40°，求∠NMB的大小；（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；（3）你发现了什么样的规律？试证明你发现的规律；（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改？（不需说明理由）解答：（1）∵AB=AC，∴∠ABM=∠ACB.∵∠BAC=40°，∠ABM=∠ACB，∴∠ABM=×(180°-∠BAC)=70°.∵∠

8、MNB=90°，∠ABM=70°，∴∠NMB=90°-∠ABM=90°-70°=20°.（2）与（1）同理可得∠B=×(180°-∠BAC)=55°，∴∠NMB=90°-55°=35°.（3）规律：∠NMB=∠A.理由如下：∵AB=AC，∴∠ABM=∠ACB.∴∠ABM=×(180°-∠A).∵∠ABM