Banach空间上若干类新算子与摄动类问题

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1、■◆谭吉■1p’，幺福建师范大学曾清平硕士学位论文中文文摘自从20世纪初VonNeumann，Hilbert，Fredholm等人建立算子理论以来，算子理论得到了迅速发展并且渗透到数学的各个分支．算子理论是泛函分析中一个极其重要的研究领域，而算子理论中两类最基本而且重要的算子是半Fred_holm算子和黎斯算子．对这两类算子的研究由来已久，而且经久不衰．对它们的研究能够带动算子理论中其他方面的发展．本学位论文是《Banach空间上若干类新算子与摄动类问题》，深入地探讨了摄动类问题以及与半Fredholm算子和黎斯算子紧密相关的几类新算子(即无限余奇异算子、多项

2、式黎斯算子、广义黎斯算子)．在前言与主要结果中，主要介绍了本文所要探讨问题的研究背景及现状，并给出了本文取得的主要结果，以及这些结果较之前人工作创新的地方．在预备知识中，介绍了本文所需的一些基本结果以及相关符号．本文共分为4章．第1章，主要探讨无限余奇异算子(它是非下半Fredholm算子)．首先，给出了无限余奇异算子的定义(定义1．2．4)，并且得到了它的等价刻画(定理1．2．10)．其次，讨论了无限余奇异算子与其他类算子的关系，特别地与严格余奇异算子的关系．最后，利用无限余奇异算子得到了商不可分解空间的一个充分必要条件，和“数+紧”问题的等价刻画．这些结果

3、是文献[3】的对偶性结果．第2章，主要探讨多项式黎斯算子(它是黎斯算子的推广)．多项式黎斯算子包含了多项式紧算子，很多学者对多项式紧算子进行了深入的研究，取得了一系列深刻结果．但是到目前为止，很少有文献专门对多项式黎斯算子进行研究．文献【12】是对多项式黎斯算子的讨论的一些尝试．本章主要探讨多项式黎斯算子，结合谱理论的一些知识，对其进行了比较系统的讨论．首先，得到了它的特征刻画与性质(定理2．2．8，定理2．2．14，定理2．2。15，定理2。2．16)，这些结果推广了黎斯算子的相应结果(黎斯算子的相应结果见文献[18]的第三章第九节)．其次，从多项式黎斯算子

4、的角度给出了Browder算子的一些新的特征刻画(定理2．3．6)．第3章，主要探讨广义黎斯算子和算子集QK+(x)、QK一(x)．首先，给出了广义黎斯算子的定义(定义3．2．3)，它是多项式黎斯算子的推广；得到了广义黎斯算子的等价刻画与若干性质(定理3．2．5，定理3．2．6)，这些结果是对第2章关于多项式黎斯算子的结果的进一步深化．其次，对复平面上的任意非空集合K，推广两类算子集Q+(x)和IIIL．‘一—r．■、’。■么福建师范大学曾清平硕士学位论文Q～(x)的概念为QK+(x)和QK一(x)(定义3．3．1)；探讨了算子集QK+(x)和QK一(x)的一

5、些性质(定理3．3．3)．最后，得到了算子集QK+(x)、QK一(x)与广义黎斯算子的关系以及QK+(x)、QK一(x)与非本性算子(包括同一个空间上的非本性算子和不同空间上的非本性算子)的关系(定理3．3．4一定理3．3．8)，这些结果推广了文献[18】的第七章第二节中的结果．最后一章，即第4章，主要讨论∑2m≥2)型Banach空间上的摄动类问题．所谓的摄动类问题是指：是否对一切无限维Banach空间x和y，都有S(X，Y)=PC+(X，y)，sc(x，Y)=-P圣一(x，y)?特别地，本文中某类Banach空间上的摄动类问题指的是：是否对任意x属于这类B

6、anach空间，都有S(X)=PC+(x)，sc(x)=尸圣一(X)?上述Fredholm理论中遗留多年的摄动类问题是ManuelGonzalez在文献【22]利用遗传不可分解空间第一次给出反面回答．本章则在文献[22]的基础上，主要给出了∑2∽≥2)型Banach空间上的摄动类问题的反面回答(定理4．2．1)．IV■◆o■}．，l一·么目录目录摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Abstract．．．．．．。．．．．．．．．．．．。．．．．．．．．．．．．．．．．．中文文摘．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

7、．．．．．．．．．．．．．．．前言与主要结果．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．预备知识．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第1章无限余奇异算子．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．1引言．．．．．．．．。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．2无限余奇异算子的特征刻画．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1．3与其他算子类的关系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第2章多项式黎斯算子。．．．．．．．．．．．．．．．．．

8、．．．．．．．．．．．．2．1引言．．