高等数学方明亮6.6空间直线及其方程

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1、第六节空间直线及其方程第六章(SpaceStraightLineandItsEquation)四、直线与平面的夹角一、空间直线方程的一般方程二、空间直线方程的对称式方程和参数方程三、两直线的夹角五、平面束六、小结与思考练习7/17/20211因此其一般式方程(GeneralEquationofaSpaceStraightLine)直线可视为两平面交线，(不唯一)一、空间直线方程的一般方程7/17/20212(SymmetricExpression)1.对称式方程（点向式方程)故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零

2、.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量二、空间直线方程的对称式方程和参数方程7/17/20213设得参数式方程:3.参数式方程(ParametricForm)7/17/20214解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.例1用对称式及参数式表示直线（补充题）7/17/20215故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.(自学课本例1)7/17/2

3、0216例2求与两平面x－4y=3和2x－y－5z=1的交线平行且过点(－3,2,5)的直线的方程.解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取因此所求直线的方程为7/17/20217例3求直线与平面2x＋y＋z－6=0的交点.解：所给直线的参数方程为x=2+t,y=3+t,z=4+2t,代入平面方程中，得2(2+t)+(3+t)+(4+2t)－6=0.解上列方程，得t=－1.把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为x=1,y=2,z=

4、2.（由课本例3改编）7/17/20218则两直线夹角满足设直线两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为（TheAnglebetweenTwoStraightLines）三、两直线的夹角7/17/20219特别地有:7/17/202110解:直线直线二直线夹角的余弦为从而的方向向量为的方向向量为例4（由课本例4改编）求以下两直线的夹角7/17/202111（TheAnglebetweenaStraightLinesandaPlane）当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角称为直线与平面间

5、的夹角;当直线与平面不垂直时,设直线L的方向向量为平面的法向量为则直线与平面夹角满足直线和它在平面上的投影直︿四、直线与平面的夹角7/17/202112特别有:例5求过点(1,－2,4)且与平面解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.垂7/17/202113五、平面束有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.设直线L由方程组所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.我们建立三元一次方程：(III)其中为任意常数.因为A1、B1、C1与A2、B

6、2、C2不成(II)(I)（PencilofPlanes）7/17/202114比例，所以对于任何一个值，方程(III)的系数：不全为零，从而方程(III)表示一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(I)和(II)，因而也满足方程(III)，故方程(III)表示通过直线L的平面，且对于于不同的值，方程(III)表示通过直线L的不同的平面.反之，通过直线L的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(III)就作为通过直线L的平面束的

7、方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束).7/17/202115例6求直线在平面x+y+z=0上的投影直线的方程.解：过直线的平面束的方程为(x+y-z-1)+(x－y+z+1)=0,(1+)x+(1-)y+(-1+)z+(-1+)=0,即(*)其中为待定常数.这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是即由此得=-1代入(*)式，得投影平面的方程为2y-2z-2=0即y-z-1=0所以投影直线的方程为7/17/202116解：7/17/202117解：7/17/2021181.空间直线方程一般式对称式参

8、数式内容小结7/17/202119直线直线夹角公式:2.线与线的关系7/17/202120平面:L⊥L//夹角公式：直线L:3.面与线间的关系4.平面束7/17/202121课外练习习题6－61（偶数题）；3；4（2）（4）；6（2）；7（偶数题）；10；12思考与练习D7/17/202122CC‖面面面面；xoyQDxozQCyozQB