高等数学方明亮6.5平面及其方程

《高等数学方明亮6.5平面及其方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五节平面及其方程第六章（ThePlanesandItsEquations)四、小结与思考练习一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角9/2/20211①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故(ThePoint-NormalFormEquationsofaPlane)9/2/20212即解:取该平面的法向量为的平面的方程.(自学课本例2）利用点法式得平面的方程例1求过三点9/2/20213此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:9

2、/2/20214此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即特别,当平面与三坐标轴的交点分别为9/2/20215二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.(GeneralEquationofaPlane)9/2/20216特殊情形•当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;•当A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•Ax+Cz+D=0表示•Ax+By+D

3、=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•By+D=0表示平行于y轴的平面;平行于z轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.9/2/20217解:因平面通过x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例2求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.(自学课本例3）例3用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.(自学课本例4）9/2/20218三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为平面∏2的法向量为则两平面夹角的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.（TheAnglebetween

4、TwoPlanes）9/2/20219特别有下列结论：9/2/202110因此有垂直于平面∏:x+y+z=0,求其方程.（课本例6）解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且例4一平面通过两点9/2/202111外一点,求解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.（课本例7）,则P0到平面的距离为(点到平面的距离公式)例5设9/2/202112求内切于平面x+y+z=1与三个坐标面所构成四面体的球面方程.（补充题）例6解:设球心为则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为从而9/2/202113内容小结1.平面

5、基本方程:一般式点法式截距式三点式9/2/2021142.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:9/2/202115课外练习习题6－51；2；7；8；9（1）（3）；10；11思考与练习答案：9/2/202116答案：9/2/202117解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得3.求过点且垂直于二平面和的平面方程.（课本习题6-55）9/2/202118