高等数学方明亮61向量及其线性运算

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1、高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）7/18/20211第六章向量代数与空间解析几何（VectorAlgebra&SpaceAnalyticGeometry）数量关系—第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）7/18/20212主要内容第一节向量及其线性运算第二节数量积向量积*混合积第三节曲面及其方程第四节空间曲线及其方程第五节平面及其方程第六节空间直线及其方程7/18/20213第一节向量及其线性运算第六章（VectorandItsLi

2、nearOperation）四、利用坐标作向量的线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影7/18/20214一、向量的概念(ConceptofVector)表示法:向量的模:向量的大小,向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为1的向量,零向量:模为0的向量,有向线段M1M2,或a,7/18/20215规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或

3、相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;7/18/20216二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.（Vector’sLinearOperation）7/18/202177/18/20218三角不等式2.向量的减法7/18/20219是一个数,规定:可见与a的乘积是一个新向量,记作总之:运算

4、律:结合律分配律因此3.向量与数的乘法7/18/202110设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝a,定理17/18/202111“”则例1设M为解:ABCD对角线的交点,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b（自学课本例1～2）7/18/202112ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,坐标面卦限(

5、八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念Ⅰ（RectangularCoordinatessysteminSpace）7/18/202113向径坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);在直角坐标系下7/18/202114坐标轴:坐标面:7/18/202115在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径OM表示.2.向量的坐标表示7/18/202116四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比

6、例:7/18/202117求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得例2（课本例3）7/18/202118在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即例3已知两点（课本例4）7/18/202119得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:说明:由7/18/202120五、向量的模（Module）、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与7/18/202121证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例4求证以（自学课本例5）7/18/20

7、2122等距解:设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.例5在z轴上求与两点（自学课本例6）7/18/202123(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6已知两点和解:求提示:（自学课本例7）7/18/202124设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作2.方向角与方向余弦(DirectionAn

8、gleandCosine)7/18/202125方向余弦的性质:7/18/202126和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量例7已知两点（课本例8）7/18/202127解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,