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1、六六老师数学网专用资料：http://y66.80.hkqq：745924769tel：15327376117§8.1向量及其线性运算授课次序48教学基本指标教学课题§8.1向量及其线性运算教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点向量及其线性运算教学难点向量的运算及其几何意义参考教材同济大学编《高等数学（第6版）》自编教材《高等数学习题课教程》作业布置《高等数学》标准化作业双语教学坐标轴：axisofcoordinates；横坐标：abscissa；纵坐标：ordinate；锐角：acuteangle；钝角：obtuseangle；平角：straightangle；直角：rightan
2、gle课堂教学目标1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2．掌握向量的运算。教学过程1．向量（25min），；2．空间直角坐标系（20min）；3．向量的运算（45min）教学基本内容第八章向量代数与空间解析几何§8.1向量及其线性运算一、向量概念向量:在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,这一类量叫做向量.在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号:以A为起点B为终点的有向线段所表示的向量记作.向量可用粗体字母表
3、示,也可用上加箭头书写体字母表示,如,a、r、v、F或、、、.自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.相等的向量经过平移后可以完全重合.向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a、、的模分别记为
4、a
5、、、.单位向量:模等于1的向量叫做单位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a
6、//b.零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.类似还有共面的概念.设有k(k³3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面.备注栏§8.1向量及其线性运算第7页共7页六六老师数学网专用资料：http://y66.80.hkqq：745924769tel：15327376117二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+
7、b.三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则.平行四边形法则:当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b.ABCABCD向量的加法的运算规律:(1)交换律a+b=b+a;(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).由于向量的加法符合交换律与结合律,故n个向量a1,a2,×××,an(n³3)相加可写成a1+a2+×××+an,并按向量相加的三角形法则,可得n个向量相加的法则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a1,a2,×××,an,再以第一向量的起点为起点,最后一向
8、量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和.负向量:设a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a.向量的减法:我们规定两个向量b与a的差为b-a=b+(-a).即把向量-a加到向量b上,便得b与a的差b-a.特别地,当b=a时,有a-a=a+(-a)=0.---显然,任给向量及点O,有,因此,若把向量a与b移到同一起点O,则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差b-a.三角不等式:由三角形两边之和大于第三边的原理,有
9、a+b
10、£
11、a
12、+
13、b
14、及
15、a-b
16、£
17、a
18、+
19、b
20、,其中等号在b与a同向或反向时成立.2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a
21、与实数l的乘积记作la,规定la是一个向量,它的模
22、la
23、=
24、l
25、
26、a
27、,它的方向当l>0时与a相同,当l<0时与a相反.当l=0时,
28、la
29、=0,即la为零向量,这时它的方向可以是任意的.特别地,当l=±1时,有1a=a,(-1)a=-a.运算规律:(1)结合律l(ma)=m(la)=(lm)a；(2)分配律(l+m)a=la+ma；l(a+b)=la+lb.ABCDM例1.在平行四边形ABCD中,设=a,=b.试用a和b表示向量、、、,其中
