高数8-1向量及其线性运算课件.ppt

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1、§8.1向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影六、小结思考题⑴向量：既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。⑵向量表示：模长为1的向量.⑸零向量：模长为0的向量.

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3、⑶向量的模：向量的大小.⑷单位向量：或或一、向量的概念1、概念⑷单位向量：⑸零向量⑹自由向量：不考虑起点位置的向量.⑺相等向量：大小相等且方向相同的向量.⑻负向量：大小相等但方向相反的向量.⑼向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.一、向量的概念2、两非零向量的关系⑴相

4、等：大小相等且方向相同的向量.⑵平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量.⑶垂直：方向成90°夹角的两个非零向量.注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都平行或垂直。⑷共面：把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.1、向量的加减法二、向量的线性运算⑴加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）⑵向量的加法符合下列运算规律：①交换律：②结合律：③加负律：⑶减法二、向量的线性运算2、向量与数的乘法二、向量的线性运算⑴定义：

5、⑵数与向量的乘积符合下列运算规律：①结合律：②分配律：⑶线性运算：向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。例1化简解二、向量的线性运算例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.二、向量的线性运算⑷单位向量的表示注意：与三个坐标轴同向的单位向量的记法.⑸两个向量的平行关系二、向量的线性运算证:充分性显然；下面证明必要性两式相减，得注：此定理是建立数轴的理论依据.横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系Ox

6、yz坐标系或[O;i,j,k]坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.三、空间直角坐标系1、坐标系的构成⑴坐标轴：横轴、纵轴、竖轴⑵坐标面：xOy面、yOz面、zOx面⑶卦限：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、ⅧⅦ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ三、空间直角坐标系空间的点M有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点三、空间直角坐标系2、点、向量与坐标⑴加法1、向量的加减法与数乘四、利用坐标作向量的线性运算⑵减法⑶数乘2、平行向量的坐标表示式四、利用坐标作向量的线性运算解例3求解以向量为未知元的线性方程组解二元一次方程组，

7、易得例4已知两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)以及实数λ≠-1，在直线AB上求点M，使解设为直线上的点，由题意知：四、利用坐标作向量的线性运算⑴向量的模:1、向量的模与两点间的距离公式:五、向量的模、方向角、投影按勾股定理可得⑵两点间的距离公式:五、向量的模、方向角、投影解原结论成立.例6已知两点A(5,3,1)和B(1,0,5)，求与解解设P点坐标为所求点为五、向量的模、方向角、投影2、方向角与方向余弦五、向量的模、方向角、投影⑴空间两向量的夹角的概念:类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向

8、量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.五、向量的模、方向角、投影⑵方向角显然有⑶方向余弦由图分析可知方向余弦通常用来表示向量的方向.向量的方向余弦方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为五、向量的模、方向角、投影例8已知A(3,3,1)和B(1,5,1),计算解解五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影3、向量在轴上的投影⑴x轴与向量的关系⑵向量在u轴上投影五、向量的模、方向角、投影⑶向量在三坐标轴上的投影⑷向量投影的性质解五、向量的模、方向角、投影§8.

9、1向量及其线性运算一、向量概念1、概念2、两非零向量的关系二、向量的线性运算1、向量的加减法2、向量与数的乘法三、空间直角坐标系1、坐标系的构成2、点、向量与坐标四、利用坐标作向量的线性运算1、向量的加减法与数乘2、平行向量的坐标表示式五、向量的模,方向角,投影1、向量的模与两点间的距离公式2、方向角与方向余弦3、向量在轴上的投影六、小结思考题在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？1、向量的加减法与数乘2、方向角与方向余弦A:Ⅳ;B:Ⅴ;C:Ⅷ;D:Ⅲ;思考题解答