高等数学下8.6空间直线及其方程

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1、§6.空间直线及其方程二、空间直线的对称式方程方向向量的定义：一、空间直线的一般方程z如果一非零向量平行于一条已知直线，sL定义空间直线可看成两平面的交线．这个向量称为这条直线的方向向量．Mz当M0(x0,y0,z0),s(,,),mnpM01:A1xB1yC1zD101yo确定时直线的位置就完全确定了，:AxByCzD022222x2AxByCzD0ML,M(x,y,z),MM//s1111L0yA2xB2yC2zD20oMM{,,}xxyyzz0000空间直线的一般方程xxx0yy0z

2、z0直线的对称式方程（注：两平面不平行）mnp（点向式方程）番茄花园3sL二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程M方向向量的定义：zM(x,y,z),M0M//ss(,,),mnpM0sLxx0yyzzxx0yy0zz0如果一非零向量平行于00Mmnp0np一条已知直线，这个向量称M0xx00为这条直线的方向向量．此时理解为二平面的交线oyyy00zzxxyyzznp000x直线的对称式方程mnp当方向向量的某两个坐标为零时，比如（点向式方程）m,0n,0p0时，方程也仍然写为

3、注当方向向量的某个坐标为零时，比如xxyyzz000,m0,n0,p0,方程仍然写为00pxx0yyzz0理解为交线xx000(考虑其几何意义)0npyy00二、空间直线的对称式方程三、空间直线的参数式方程设rOM(x,y,z)例1求过点(1,0,-2)且与平面3x+4y-z+6=0平行,又与直x3y2zxxyyzzx

4、

5、rcosy

6、

7、rcosz

8、

9、rcos向量的方向余弦000线垂直的直线方程.141mnp由直线的对称式方程xx0yy0zz0解:设所求线的方向向量为s,m

10、np已知平面的法向量n(3,4,1),令xxyyzz000tmnp已知直线的方向向量s11,4,1,xxmt直线的一组方向数ijk0取sns3418,4,842,1,2yynt10方向向量的余弦称为141zzptx1yz20因此,所求直线方程为直线的方向余弦.212直线的参数方程1幻灯片4番茄花园3几何意义：平行Z轴的直线番茄花园,2010-3-11xxyyzzxxyyzz三、空间直线的参数式方程000三、空间直线的参数式方程000mnpmnp例2用对

11、称式方程及参数方程表示直线例2用对称式方程及参数方程表示直线xyz10xyz102xy3z40.点坐标(1,0,2),.2xy3z40因所求直线与两平面的法向量都垂直解在直线上任取一点(x,y,z)000取snn(4,1,3),12yz0020取x01对称式方程xyz102t令比值为yz00360413x14t解得y00,z02点坐标(1,0,2),得参数方程yt因所求直线与两平面的法向量都垂直z23tababab例3一直线过点A(

12、2,3,4)，且和y轴垂直相xxyyzz(2)cos四、两直线的夹角222222aaabbbxxyyzzxyzxyz交，求其方程.000mnp定义两直线的方向向量的夹角称之为此解因为直线和y轴垂直相交,两直线的夹角.（锐角）所以交点为B(0,y,0),AB(2,y3,4),xxyyzz直线L:111,1AB垂直于y轴，y轴方向向量为（0,1,0），ABey0m1n1p1xxyyzzB(0,,0),3取sBA(2,0,4),直线L2:222,mnp222x2y3z4所求直线方程.

13、204cos(LL,)cos(,ss)两直线的夹角公式y31212或

14、m1m2n1n2p1p2

15、xz24cos(L,L)2222221224m1n1p1m2n2p2xxyyzz四、两直线的夹角四、两直线的夹角000xxyyzzmnp直线L:111,1mnp111例4求过点(3,2,5)且与两平面x4z3和xxyyzz222,直线L:2xy5z1的交线平行的直线方程.2mnp222

16、m1m2n1n2p1p2

17、cos(L1,L2)m2n2p2m2n2p2解设所求

18、直线的方向