高等数学 直线及其方程

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1、第六节空间直线及其方程一、空间直线方程二、线面间的位置关系第七章定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程与参数方程直线的对称式方程令直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数式方程例1求经过两点的直线方程。解因为直线过两点因此可取作为直线的方向向量由点向式即得所求直线的方程为——直线的两点式方程例2用对称式方程及参数方程表示直线解一用点向式在直线上任取一点取解得点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取对称式方程参数方程令得解得点坐标所

2、求直线方程为参数方程解二用两点式已求出一点再求出一点两式相加得代入方程组得即对称式方程解三由解所以交点为取所求直线方程由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：两定——定点、定向例4求过点A(1,2,－2),且通过直线L的平面方程。解设所求平面的法向量为由题设知点为直线L上一点其方向向量由于所求平面通过点A及L由点法式得所求平面方程为即解所给直线的参数方程为代入平面方程，得解得将代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为即交点为例5求直线与平面的交点。定义直线直线^两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：//直线直线例如，解设所求直线的方向向量为根据

3、题意知取所求直线的方程解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为例求过点M0(3,3,0)且与直线l1:垂直相交的直线l的方程.解：M0M1l1设所求直线l与l1的交点为M1(x1,y1,z1).则M0M1s1=(1,1,2).令t+t+22t6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直线方程为定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．^^四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//解为所求夹角．五、平面束设有直线考虑其中因不成比例故不全为0从而表

4、示一个平面若一点在上，满足和的方程则点的坐标必同时则点的坐标也满足因而表示过的平面对于的不同值表示过的所有平面——过的平面束一般在具体应用时，常取而考虑缺或的平面束例9求直线在平面上的投影直线的方程[分析]过所给直线作一平面与已知平面垂直，两平面的交线即为所求。解过所给直线的平面束方程为即这平面与已知平面垂直的条件是所求平面方程为这就是过已知直线且垂直于平面的平面的方程它与已知平面的交线：即为所求的投影直线的方程。空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角.直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）六、小结作业P3353，4，5，7，9