透视高考试卷中向量小题的变化

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1、透视高考试卷中向量小题的变化第4页共4页透视高考试卷中向量小题的变化从2000年起，向量正式加入了高考试题的行列。回顾这些年来有关向量选择题、填空题的变化情况，再根据各个年份的小题所显现出来的考试要求、试题特点及对后续教学与考试的影向，大致可分为如下几个阶段：1．以“三点共线”为代表的初级阶段2000年~2002年。这期间，高中新课程在小范围内试验，因此，向量小题的考查大多定位在“了解”层面，试题内容以向量的基础知识为主，涉及向量的基本概念、基本运算、几何意义等，其中具有代表性的是天津新课程卷。例1．（02年天津新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点

2、，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为：（A）3x-2y-11=0（B）(x-1)2+(y-2)2=5（C）2x-y=0（D）x+2y-5=0这是一道用向量来讨论三点共线的试题，它的原形是人教版普通高中数学教科书（试验修订本·必修）高一数学（下）P.107页的例5（2000年11月第二版），该题是课本上例题的逆命题。将条件变形成，得（或者，），从而A、B、C三点共线，C点轨迹就是A、B两点确定的直线。这道题影响颇深，在后来的高三复习中曾多次被使用，并以下列两种常见的变式散见于各种资料中：（1）已知不共线，，求证

3、：A、P、B三点共线的充要条件是；（2）A、B、C、P为平面内四点，求证A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数m、n，使，且。隔了四年，该题又以另一种变式出现在06年的江西卷中：已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A．100B.101C.200D.201显然，02年天津卷与06年江西卷这两道小题合起来就是A、B、C三点共线充要条件的具体应用。在初级阶段，这种基本题俯拾即是，如：（01年上海春）若非零向量、满足

4、

5、=

6、

7、，则与所成角的大小为。2．以“三角形四心”为代表的提高阶段2003年

8、~2005年。这一时期为新课程推广阶段，“普通高中数学课程标准”也在这一时期颁布，参加高中课程改革和自主命题的省份陆续增多。当然，向量的考查也自然而然地由“了解”进入“理解、掌握”的层面，试题由基础知识为主向技能技巧型转变。这期间出现了大量小巧玲珑、耐人寻味的小题，其中对后来的教学和考试影响较大的当数03年江苏、天津等卷中的向量小题。透视高考试卷中向量小题的变化第4页共4页例2．（03年江苏卷）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心这是一道纯向量题，用单位向量来叙

9、述几何问题。当年首次接触向量的江苏考生觉得此题很难，许多考生反映看不懂题。因为平时只有单位向量的概念，没有接触到单位向量的具体应用，想不到将原式变形成来看，更不知为一菱形的对角线。此题拉开了用向量来研究三角形“四心”的序幕，如05年各地的高考试卷中有：（1）（05年全国卷Ⅰ理）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=；（2）（05年全国卷I文）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（）A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点（3）(05年湖南卷文)P是△ABC所在平面上一点

10、，若==，则P是△ABC的（　）A．外心　B．内心　C．重心D．垂心人们对单位向量的研究也更加深入：，两个向量夹角的余弦就是两个单位向量的数量积！直到06年高考还可以看到03年江苏卷那一小题的影子：（06陕西理）已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为（）A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形1．以“各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段2006年~。这一时期，高中数学教材改革向纵深推进，与之相适应的是，向量的考查不单纯停留在对“双基”的理解上，而是更加注重对向量的理性认识。如果说前两阶段的向量小题有点“重

11、思维轻运算”的话，那么这一阶段达到了“思维和运算合一”的要求，强化了形数结合。一线老师看了06年湖南文、理卷的选择题和填空题后感叹：向量要求又提高了！例3．（06湖南理）如图1,,点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是；当透视高考试卷中向量小题的变化第4页共4页时,的取值范围是.此题对加法几何意义的要求达到了“灵活运用”的程度。如图1，以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线OP肯定不在指定的区域内，只有当时，再辅以适当的值，OP才可能在指定的区域内，因此的取值范围是(－∞，0)；而当时，如图2，，当变化时，对应一系列

12、平行四边形：平行四边形CODM、COBP、……COFE，其中OM、OE是临界位置，因此y的取值