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1、2.4 求函数的极值和最大(小)值中学数学教材的二次函数,三次函数，三角函数的内容都涉及到求函数的极值,最大(小)值问题,所用的方法不外乎是二次函数的极值定理,判别式法,三角函数的有界性,重要不等式及由重要不等式推出的极值定理.但是,这些方法有很大的局限性。很多函数的极值和最大(小)或者无法解决,或者需要较强大性。学了微积分的基本知识以后,求函数的极值和最大(小)值问题才算到了较为彻底的解决。例9已知函数=在处取得极值。(1)讨论和是函数的极大值还是极小值；(2)过点(0,16)作曲线的切线,求此切线方程。解(1)=,依题意,0,即解得,。所以=，=
2、=。令=0,得,。若∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则>0,故在(-∞,-1)上是增函数,在(1,+∞)上是增函数。若∈(-1,1),则<0,故在(-1,1)上是减函数。所以=2是极大值，=-2是极小值。(2)曲线方程为=。点(0,16)不在曲线上。设切点为,则点的坐标满足。由于=,故切线的方程为。注意到点(0,16)在切线上,有=。化简得,解得。因此,切点为,切线方程为。例10已知函数=,其中≤0,为自然对数的底数。(1)讨论函数的单调性；(2)求函数在区间[0,1]上的最大值。解(1)=。①当时,令=0,得。若,则>0,从而在(0,+∞)上单调递
3、增；若,则<0,从而在(-∞,0)上单调递减。②当时,令=0,得=0。故或。若,则<0,从而在(-∞,0)上单调递减；若,则>0,从而在(0,)上单调递增；若，则<0,从而在(,+∞)上单调递减。(2)①当时,在区间[0,1]上的最大值=1；②当时,在区间[0,1]上的最大值=；③当≤-2时,在区间[0,1]上的最大值=。2.5 函数图象的描绘中学数学教材在介绍二次函数,幂函数,指数函数,三角函数等函数时,通常用描点法作出函数的图象。这种图象一般是粗糙的,不一定能准确地反映曲线在一些点和区间上的性态。学习了导数及其应用后,就可以利用函数的一、二阶导数
4、并结合函数的某些性质,较为准确地描绘出函数的图象。一般来说,描绘图象可按下列的步骤进行(1)确定函数的定义域；(2)观察函数是否具有某些特征(奇偶性等)；(3)观察函数是否有垂直渐进线,斜渐进线,如果有渐进线,将渐进线求出来；(4)求出函数的单调区间,极值,列表；(5)求出函数的凸凹区间和拐点,列表；(6)确定一些特殊点,如与坐标轴的交点等。例11作函数的图形。解定义域为(-∞,+∞).曲线与轴的交点为(0,2)。利用连续函数的零值定理可知,在区间(-2,-1)内曲线与轴有交点。,。令,得驻点,令,得。列表如下（）0（0,1）1(1,2)2(2,+)
5、+0---0+--0++++增极大值减拐点减极小值增凹凸性凹凸作图像如下
