凸函数的等价描述与Jensen不等式

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1、第23卷第2期丽水师范专科学校学报2001年4月Vol.23
No.2JOURNALOFLISHUITEACHERSCOLLEGEApr.2001凸函数的等价描述与Jensen不等式

林银河(丽水师范专科学校数学系,浙江丽水,323000)

摘要:凸函数是一重要概念,它在许多学科里有着重要的作用,但凸函数有多种不同的定义。本文试图讨论凸函数的各种不同的定义的等价描述,进而讨论Jensen不等式及其应用。关键词:凸函数;函数;Jensen不等式中图分类号:O174.13

文献标识码:A

文章编号:1008-6749(2001)02-0008-04[1]

2、定义1
设f(x)在区间I上有定义,若对任意x1,x2I,

(0,1),有f(
x1+(1-
)x2)
f(x1)+(1-
)f(x2),则称f(x)为I上的凸函数。现代数学多数采用这种定义,除此之外,还有其它形式的定义。[1]定义2
设f(x)在区间I上有定义,f(x)称为I上的凸函数,当且仅当
x1,x2I,有x1+x2f(x1)+f(x2)


f()。22[2]定义3
设f(x)在区间I上有定义,f(x)称为I上的凸函数,当且仅当
x1,x2,!,xnI,有x1+x2+!+xnf(x1)+f(x2)+!+f(xn)


f()nn[2]关于定义

3、1,定义2,定义3有如下的关系:(1)定义1定义2,定义1定义3;(2)定义2与定义3等价;(3)当f(x)在I上连续时,定义1、定义2、定义3等价。[2]定理1
设f(x)在区间I上有定义,则对任意x1,x2,x3I,且x1

4、稿日期:2000-09-22作者简介:林银河(1965-
),男,浙江景宁人,讲师。第2期









林银河:凸函数的等价描述与Jensen不等式9x3-x2x3-x2f(x3)-f(x1)f(x3)-f(x2),x3-x1x3-x1x3-x2x3-x2即f(x2)f(x1)+(1-)f(x3),x3-x1x3-x1x3-x2x2-x1即f(x2)f(x1)+f(x3)。(1)x3-x1x3-x1若f(x)在I上为凸函数,则对I中任意x1

5、1

6、I上为凸函数。类似可证(#),(%)与(∀)等价。[2]定理2
若f(x)是区间I上的凸函数,则对I的任一内点x,单侧导数f&+(x),f&-(x)都存在,0且都为增函数,以及成立f&-(x)f&+(x),

(
xI)。0证明
对
x1,x2,x3I,x1

7、f(x1)f(x&2)-f(x1)f(x&2)-f(x2)取x&1

8、有f(x)((x-x0