第十五届“华杯赛”一组总决赛一试题答案

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1、第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试题解答少年一组一试一、填空题1b11.化简1(a1(b))=.cab1b(abcac)【答案】1.【解答】1b1原式=cab1babcacabc1bc1ab11=abcacbb(abcac)2abcbcab11=b(abcac)=1.2.小兔和小龟同时从A地出发到森林游乐园,小兔1分钟向前跳36米,每跳3分钟就原地玩耍,第1次玩耍0.5分钟,第2次玩耍1分钟,第3次玩耍1.5分钟,,第k次玩耍0.5k分钟,小龟途

2、中从不休息和玩耍.已知小龟比小兔早到森林游乐园3分20秒,A地到森林游乐园有2640米,则小龟1分钟爬行米.【答案】12米.【解答】小兔到达森林游乐园需要跳动126403673(分钟).3既然1473324,33小兔在到达森林游乐园签在途中就要共玩耍0.511.5120.51225150（分钟）.设小龟1分钟爬行m米,则可以列出方程：126401731503.3m3解此方程,m＝12（米）.13.A、B、C、D用10、20、30、40四个数的一个排列代入,使得式1A1B1CD的值

3、最大,则A2B3C4D的值为.【答案】290【解答】解答1：由于10、20、30、40四个数都是大于1的数,故有下面的关系式：111C1CC,1BBB1D1CD1111A1AA,.1A1A1BA11CBD1CD比较11111111,,,,,,,,10110201203013040140得到,要使得算式的值最大,A10.同样,要使得算式的值最大,11B1CD应该尽量大,由11BBB1,1CD比较111111,,,,,,20120301304

4、01401得B20.同样要使算式尽量大,要尽量小,1CD111,C1C1CD比较1111,,,,3030140401故C40,D30.所以A2B3C4D的值为290.解答2：令1q,1A1B1CD则11BCDBDq1CD1ABCDABADCD1AADBCDBDBCD11ABCDABADCD1CD1AABCDABADCD11CD1(1)AABCDABADAD11111(1)(1).AADAABCDADA

5、B11CD1CDCD1当A变小,q值变大.所以A10,乘积CD变大,q值变大,所以CD3040,AD10D,D取30,q最大.因此C40,D30.注意124020124010,,1239001123890110101120201130404030所以A2B3C4D290.二、解答题4.长方形OOBA的宽AO1厘米,分别以O与O为12112圆心,1厘米为半径画圆O和圆O,交线段OO于点C和1212D,如图A-45所示.则四边形ABCD的面积等于多少平方厘米?图A-45【答

6、案】1平方厘米.【解答】四边形ABCD是个梯形,AB=O1O2是大底,CD是小底.ABCDOOCD(OCODCD)CD11CDCD2.1212所以(ABCD)AO211S1（平方厘米）.ABCD225.对于十进制自然数n,S(n)表示n的数码和,三位数中满足S(a)S(2a)的数a有多少个？【答案】80.【解答】以下用a表示满足题设条件的三位数.0S(2a)S(a)S(2aa)S(a)(mod9).所以a是9的倍数.是9的倍数的三位数有129，139，，1119.

7、共计100个.（1）数码5xyz0,且其和为9的数组{x,y,z}{4,4,1},{4,3,2},{3,3,3}.数组{4,4,1}可以组成3个三位数；数组{4,3,2}可以组成6个三位数；数组{3,3,3}可以组成1个三位数,这10个数不满足条件.（2）设a100x10yz,x,y,z为数码.则2a1002x102y2z,若x,y,z中有一个不小于5时,例如y5,则2y10m,0m8.2a100(2x1)10m2z,S(2a)2x1m2z2x1(2y10

8、)2z2(xyz)92S(a)9.完全一样可以证明,当x,y,z中有k(0k3)个数码大于5时,S(2a)S(a)9k.因此数码x5yz0,且其和为9的数组{x,y,z}所组成的三位数是满足条件的数.数码和为9的三位数不可能有2个大于4的数码.（3）三个数码和为18的三位数,至少有2个数码大于4.由上