第十五届“华杯赛”初一组初赛试题答案

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1、第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题解答（初一组）一、选择题1.如果x,y满足2x3y15,6x13y41,则x2y的值是().15(A)5(B)7(C)(D)92【答案】B.【解答】2x3y15,6x13y41两边相加得到8x16y56,两边除以8得到x2y7.故答案为B.2.2和2对应的点将数轴分成3段,如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中一段之中,那么n的最小值是().图A-5(A)5(B)6(C)7(D)8【答案】C.【解答】数轴的三段包含了所有数对应的点,再由抽屉原理得出C是对

2、的.3.用甲乙两种饮料按照x:y（重量比）混合配制成一种新饮料,原来两种饮料成本是：甲每500克5元,乙每500克4元.现甲成本上升10%,乙下降10%,而新饮料成本恰好保持不变,则x:y=().(A)4:5(B)3:4(C)2:3(D)1:2【答案】A.【解答】由5x4y5.5x3.6y,5x4y,x:y4:5.4.满足x1xx1+x=1的x的值是().133(A)0(B)(C)(D)444【答案】C.【解答】当x≤0,原方程为x1xx1x=1,即1x1x1,无解；

3、当0

4、12x

5、12x1,这种情况下当0x时,12x12x1无解；当x1,2232x112x1,x=；当x≥1,原方程为4x1x(x1)x=1,即1(x1)x1,无解.5.一个立方体的每一个面都写有一个自然数,并且相对的两个面内的两数之和都相等,图A-6是这个立方体的平面展开图,若20、2220、9的对面分别写的是a、b、c,则abcabbcca的值为().图A-6(A)481(B)301(C)602(D)96

6、2【答案】B.【解答】由题意得：a9b0c20,所以ab9,bc20,ca11.进而222abcabbcca1222=[(ab)(bc)(ca)]21=(81400121)301.26.乘积为240的不同的五个整数的平均值最大是().1718(A)(B)(C)7(D)955【答案】D.【解答】假设240abcde,abcde.根据240222235,首先说明,在平均值最大时a,b,c,d,e中只有一个负数.如果a,b,c,d,e都是负数,可以

7、选择两个数,改变符号后,乘积不变,且没有相同的整数,并且5个数的平均值增大.故最多有3个负数.假设有3个负数.a,b,c为负数,d,e为正数.如果a,b,c中的两个的绝对值与d,e都不相等,则选择两个数,改变符号后,乘积不变.故a,b,c中任意两个的绝对值至少有一个与d,e中的数相等.这说明d,e是a,b,c中的两个数.另外,d,e中至少有一个等于1.因为如果xyz,则z1xy(x1)(y1)0,且等号成立时x1或者y1.并且a,b,c,1,z为互不相等的整数.故a,b,c中有一个数等于1,令a1,d

8、1.不妨设be,则e2或e4.即a,b,c,d,e为{60,2,1,1,2}或者{15,4,1,1,4},两组数的和都比{3,4,1,1,20}小.故最多有一个负数,设为a.这个负数a一定是1.否则,用a乘以最大的整数,满足五个数都不相同.现在根据240分解的特点,证明240(1)12340为和最大的分解.设a1,b1,则240cde,c,d,e1.我们用一个性质：如果1xyz,则xyzxyz,因为xyzxyz(1y)(xz)0.这说明c2,d

9、3,因为cd.故240(1)12340为和最大的分解.二、填空题1112227.如果xyza,0,那么xyz的值为.xyz2【答案】a.111xyyzzy【解答】因为0,得到xyyzzy0.xyzxyz22222222而(xyz)xyz2(xyyzzy)xyza.2aa一个特解：xy,z338.如图A-7,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发去往C地,在距离C地2500米处甲追上乙；若乙提前10分钟出发,则在距离C地1000米处甲追上乙.已知,乙每分

10、钟走60米,那么甲的速度是每分钟米.图A-7【答案】100.【解答】乙提前走10分钟,两个人的路程差就增加10×60=600米,而甲需要多走2500－1000=1500米才能追上乙.那就是说,甲走1500米的时间里乙可以走1500－600=900米