第十五届“华杯赛”二组总决赛二试题解答

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1、“华杯赛”官方网站www.huabeisai.com.cn第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛试题解答少年二组二试一、填空题1.不满足不等式

2、x2

3、

4、x1

5、2的x应满足的条件是.【答案】1.5x0.5.【解答】解答1.当x2时,原不等式化为

6、x2(1x)

7、2或32.可见,当x2时,原不等式恒成立.当2x1时,原不等式化为x2(1x)2或2x12,即2x12或2x12.解得x0.5,此时0.5x1;或x1.5,此时2x1.

8、5.当x1时,原式化为x2(x1)2或32.可见,当x1时,原式恒成立.于是,x应满足条件是1.5x0.5.解答2.当x2时,原不等式化为

9、x2(1x)

10、2,

11、x2(1x)

12、2恒不成立.当2x1时,原不等式化为x2(1x)2,2x12,即22x12.解得1.5x0.5.当x1时,原式化为x2(x1)2,32,恒不成立.故当1.5x0.5时,原不等式不成立.2.一个8行n列的阵列队伍,如果排列成若干个15行15列的

13、方阵,还余下“华杯赛”组委会办公室咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站www.huabeisai.com.cn3人,1人举旗,2人护旗,则n最小等于.【答案】141.2【解答】由题目得8n315k3225k,k为整数.8n3828kk,k8(n28k)38s3,sn28k,sn28kn28(8s3)n224s84,所以n225s84.当s=1时,n有最小自然数值141.3.自三角形ABC内一点P,分别向BC,CA,AB边引垂线,垂足依次为D,E

14、,F.以BD,CD,CE,AE,AF,BF为直径分别向形外作半圆.如图A-51所示这六个半圆面积分别记为S1,S2,S3,S4,S5,S6.若S5S62,S1S21,那么SS.43图A-51【答案】3.【解答】连接AP,BP,CP,见图A-52.则222AFBDCE222222(APPF)(BPPD)(CPPE)222BFCDAE图A-52222222(BPPF)(CPPD)(APPE)所以,222222AFBDCE=BFCDAE.“华杯赛”组委会办公室

15、咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站www.huabeisai.com.cn两边同乘得24222222AFBDCEBFCDAE++,222222222222也就是SSSSSS.135246SSSSSS123.431256二、解答题4.扑克牌中的J,Q,K分别看成11,12,13点.从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌,使得没有2对牌,其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点

16、数之和？【答案】6.【解答】解法1.设最多可以挑出来n张.而{1,2,3,5,8,13}满足要求,所以n6.设挑出来n张牌为a1a2a3an,如果其中ai,aj,ak,al,kj,满足条件：aaaa（1）ijkl则挑出来的牌不满足要求.若n7,则aa,aa,aa,aa,aa,5个差值是各不相同的;7574737271aa,aa,aa,aa,aa,5个差值是各不相同的;6564636261aa,aa,aa,aa,4个差值是各不相同的.54535251“华杯赛

17、”组委会办公室咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站www.huabeisai.com.cn如果aaaa,aaaa,aaaa,aa,则不满足要7i6j7i5j6i5jij求.以上14个差值取值在1到12.因此,只有下列情况时不满足条件（1）:aaaa,aaaa.755i655j所以2aaaaa,挑出的7个数不满足要求.57i6j所以n6.解法2.设至多挑出n张牌,但是{1,2,3,5,8,13}中没有2对牌,其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和,所

18、以n6.若n7,所取的7张牌,从小到大排列为：{a,a,,a},任取2个a和a,127mn76无妨设aman,则共有21个取值在1～12的差.这些差中2（1）不可能出现aaaa;mnkn（2）若有amananal,即2anamal,(mnl),则不能有m1m,l1l(m1nl1),使得2anam1al1,否则存在2对牌,其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和.即对于同一个n,出现