第十三届“华杯赛”初一组决赛试题答案

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1、第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、填空(每题10分,共80分)题号12345678答案1℃29862017036064二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9.答案：20,21,22.解答：设最小角为x,最大角为4x,另一个角为y.则由题目的条件得xy4x180,xy4x,4x90.①由①的前两个式子得到:6xxy4x1809x,解得20x30;又由①的第三个式子得到x22.5,所以20x

2、22.评分参考:1)给出三个关系①给4分;2)得出范围给4分;3)给出答案给2分.10.答案:10.解答:设有n只猴子,小明留给自己p个桃子,每只猴子分到了4p个桃子.则164p4pn,所以p是4的倍数.令p=4p1,则41p4pn,41p是4的倍数.令11110kp4k1,则404k4(4k1)n,n.因为n是正整数,所以k0.当k0114k时,n10.评分参考:1)给出p,n的关系给3分;2)得到n,k的最终关系给4分;3)得到答案给3分.11.答案：4.解答:设三角形EBP的面积为X,连接A

3、P.若令三角形APF的面积为Y,则三角形AEP的面积为XY.因为,SBCF:SBFASFPC:SAPFX:Y,-1-第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)S:SS:SX:(XY),BCEAECEBPAEPX而SS,SSXX2X,所以有X:Y=X:(X-Y),解得Y=,即BCEBCFBFAAEC2XS:S(12X):2XX:2:1.所以X=4.三角形EBP的面积为4.BCFBFA2评分参考:1)引出参考线给2分;2)得到X与Y的关系式给4分;3)得到答

4、案给4分.1112.答案：x,y1;x,y1.22x解答：首先必须y0,否则没有意义.若xyxy,则y0,矛盾．所以yxyxy．若x0,则由xyxy,或xyxy都得到y0,所以x0,即xy0．因此,三个相等的式子只有两种可能：x（1）xyxy．由后一等式得到,y=1或y=-1.而y1是不可能的,因为此时y由第一个等式得到xx1,矛盾．当y1时,由第一个等式得到x1x,即2x1,所1以x.2x（2）xyxy.由后一等式同样得到y=1或y=-1.同样,y1

5、是不可能的；而y1当y1时,由第一个等式得到2x1,所以x.2评分参考:1)(1)之前给2分;2)(1)和(2)各给4分.三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13.答案:6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.解答:设所用的等边三角形的边长单位为1.任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l的大等边三角形.该六边形可以通过切去边长分别为a,b,c的等边三角形的角而得到,其中a,b,c为正整数,并且满足:abc1,lab.又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长

6、为x（正整数）的等边三角形所需要的22222个数是135(2x1)x.因此,nl(abc),其中l3,lab,abc1.2222(1)l3时,n可以为3(111)936.-2-第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初一组)(2)l4时,n可以为222222224(211)16610,4(111)16313.(3)l5时,与上面不同的n可以为222222225(311)251114,5(221)25916,222222

7、225(211)25619,5(111)25322.(4)l6时,与上面不同的n可以为222222226(411)361818,6(311)361125,222222226(222)361224,6(221)36927.222222226(211)36630,6(111)36333.(5)l7时,与上面不同的n都比27大.(6)l8时,可以证明满足要求的n都不小于26.由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n为6,10,13,1

8、4,16,18,19,22,24,25.评分参考:1)写出10个中的1个给1分;2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分.1014.答案:y或y10.3解答:因为方程左边的第1、3项都是整数,所以3y是整数.注意到22225yy