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1、第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）（时间:2014年4月12日）一、填空（每题10分,共80分）1.计算:.【答案】【解答】原式==.2.如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点做了一个三角形,记为三角形边上的格点数目,为三角形内部的格点数目,三角形的面积可以用下面的式子求出来：顶点在格点的三角形的面积=如果三角形的边上与内部共有20个格点,则这个三角形的面积最大等于,最小等于.【答案】17.5,9【解答】（题目中的公式取自闵嗣鹤教授写的《格点与面积》一本小册子,只用到顶点数目,其说明也易于理解.下面的说明也是取自该书）,根据顶
2、点在格点图形的面积=,因为L为三角形边上的格点数目,N为图形内部的格点数目,要使三角形面积最大,则要求L最小.当L最小的时候,三角形只有三个顶点在格点上,其它的点在三角形的内部.此时面积为17.5.这种图形是存在的,在相邻的3列格点中,三角形的三个顶点分别在其中一列上,使得只有3个顶点在三角形的边上,见下图.考虑面积最小的情况,当所有的格点都在三角形的边上时,面积最小.取相邻两行格点,三角形的一个顶点在其中一行,底边包含19个格点在另一行,此时面积为9,见下图.下面叙述这个公式的一步步的说明过程.（1）考虑行,列的矩形,则图形内的点数为,边上的点数为,图形的面积为.而.因此公式成
3、立.（2）对于直角三角形,设直角边的长度分别为m,n.设斜边上的点数为,则三角形内部的格点数为,三条边上的格点数为.因此,.而三角形的面积为,故公式成立.（3）对于一般的三角形,有下面的三种方式：对于每个上述情况,可以把这个三角形记为T,放入一个矩形中.这样把矩形分割成一些直角三角形,矩形与T.对这些直角三角形与矩形进行编号.记i个图形的内部格点数目为,边上的格点数目为,每个图形面积满足.注意到：a)每个图形的内部格点一定是外部矩形的内部格点.b)每个公共边上内部的格点属于两个图形.c)公共边的端点可能为多个图形的顶点.如上左图中A,B属于两个图形边的顶点,C为3个图形顶点.把每
4、个点对应一个数,图形内部的格点对应1,图形边上的格点对应.这样用外部矩形面积公式减去T之外的其他直角三角形与矩形面积公式.T之内的格点为对应的数1,T边上内部的格点对应的数为,T的三个顶点对应数的和是,公式中常数1对应的值为,其他格点对应的数为0.这样外部矩形面积公式减去T之外的其他直角三角形与矩形面积公式=T的内部格点数+(边的内部格点数)+()=T的内部格点数+(边的内部格点数),因此公式对T成立.对其他两个图形也进行类似的讨论.1.长为4的线段上有一动点,等腰三角形和等腰三角形在过的直线同侧,,,则线段的长度最小为.【答案】2.【解答】分别从D,E向AB作垂线,过D或E做与
5、AB的平行线,可以得到一个矩形,参见右图.线段DE最短等于该矩形平行于AB的边的长度（由过一点D或E到另一直线的距离,垂线最短的结论）.三角形ACD和三角形BCD是等腰三角形,DE最短等于AB的一半,即为2.2.正整数满足等式,,且,又,则.【答案】12.【解答】由,知,所以,.得,.3.如图,直角三角形中,为上的点,且,四边形为平行四边形,那么.【答案】2【解答】连接FC,BD,设,,那么,.由可知,进而,得.又,所以.解得,.因此,.1.方程的系数为整数,,且1是方程的一个根,那么这种方程总共有个.【答案】60【解答】由已知,,其中,a,b为实数,于是有,并且得到a,b为整数
6、.由题目条件得.因此.当时,由,得,即能够取8个整数值.类似地,当b为1,2,3,4时,a分别可以取9,8,7,6个整数值.同样地,当时,由,得,即能能够取7个整数值.类似地,当b为时,a分别可以取6,5,4个整数值.这样,的取法,亦即的取法有（种）所以,这种方程共有60个.1.一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行,它们的起点分别在A站和B站,快车每次回到A站休息4分钟,慢车每次回到B站休息5分钟,两车在其他车站停留的时间不计.已知沿顺时针方向A站到B站的路程是环路全程的,两车环行一次各需45分钟和51分钟（不包括休息时间）,那么它们从早上6时同时出发,连续运行到晚上10
7、时,两车同在B站共次.【答案】3【解答】记早上6时为第0分钟,从6时到22时是分钟,快车环行一周连同休息时间需分钟,,慢车环行一周连同休息时间需分钟,.即第960分钟时,快车共环行了19次,慢车环行了17次.设慢车第m次（,6点出发为第0次）到达B站的时间为第分钟,则有:.快车第1次到达B站是在第分钟,,快车经过B站共20次.记第次（）经过B站的时间为分钟,则.两车同在B站时,m,n必须满足:.推出,.既然是整数,故有,即得到二元整数方程:.由上面的方程得,,得到:.所以,k为奇
