广义Hamilton系统的保结构算法

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1、第22卷第1期　计算力学学报　Vol.22,No.12005年2月ChineseJournalofComputationalMechanicsFebruary2005文章编号:100724708(2005)0120047204广义Hamilton系统的保结构算法311,2张素英,　邓子辰(1.西北工业大学工程力学系,陕西西安,710072;2.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连,116024)摘　要:基于广义Hamilton系统微分方程解析解理论,给出了构造保持系统真解典则性的高阶显式积分格式的方法,并说明其可推广到广义Hamilton控制系统。该方法保持了原系统的几何定性特

2、征,因而是稳定的。数值例子说明了算法的有效性。关键词:广义Hamilton系统;广义Poisson括号结构;典则变换中图分类号:O322　　　文献标识码:A(1)双线性:1　引　言{aF+bG,K}=a{F,K}+b{G,K}(1)Poisson流形上的(有限维)广义Hamilton系(2)反对称性:统,作为传统的辛流形上的Hamilton系统的推广,{F,G}=-{G,F}(2)具有广泛的应用前景,因为广义系统可以描述比传(3)Leibnitz法则:统(偶数维)Hamilton系统更广泛的数学、力学及{FõG,K}=Fõ{G,K}+Gõ{F,K}其他学科中出现的数学模型的运动。Poisson

3、流形(3)上广义Hamilton系统微分方程的真解是由初始条(4)Jacobi恒等式:[1]件到当前状态的一个典则变换。而多数高阶积分{F,{G,K}}+{G,{K,F}}+{K,{F,G}}=0方法不具典则性,易导致伪阻尼或人为激励,甚至(4)长时间迭代后会导致错误的结果。在Hamilton体具有广义Poisson括号结构的流形M,称为[225]系下保结构的辛算法已得到广泛的研究,我们Poisson流形,记为(M,{,}),简记为M。在Poisson流形上初步构造了广义Hamilton动力设Poisson流形的局部坐标为(x1,x2,⋯,xm),[6]系统的二阶保结构算法。本文将构造广义则P

4、oisson括号结构可以由它在坐标函数上的作Hamilton系统保持其真解典则性的k(k≥1)阶显用而确定。式积分格式的方法,并通过算例进行验证。定义2广义Poisson括号{,}的结构矩阵J(x)是一个m×m阶反对称矩阵,其元素由Jij(x)2Poisson流形及其广义Hamilton={xi,xj}定义,称为结构元素。系统利用广义Poisson括号的Leibnitz性质,对∞定义1设M为m维的光滑流形,M上的广C(M)中用局部坐标x表示的函数F,G,有:∞∞mm义Poisson括号{,}是一个C(M)×C(M)û→5F5G{F,G}=∑∑Jij(x)5(5)C∞(M)的光滑映射,对任意F,

5、G∈C∞(M),满足:i=1j=1xi5xjm命题1对于定义在开子集M

6、l(x)+Jjl(x)+Jkl(x)=0作者简介:张素英3(19672),女,博士,教授;l=15xl5xl5xl邓子辰(19642),男,博士,教授,博士生导师1i,j,k=1,2,⋯,m(6)©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.·48·计算力学学报　第22卷　命题2若变换x→y=<(x)是一个微分同3　数值方法～胚,则它把J(x)变为J(y),后者仍然是广义以下我们根据式(17)来构造数值迭代算法。Poisson括号的结构矩阵,且有关系m记～5yQ5yR-1JQR(y)=∑Jij(<(y))mi,j=

7、15xi5xj005H505L(x)=∑Jij(x)00=f1(5x)0+Q,R=1,2,⋯,m(7)i,j=15xi5xj5x10505定义3若上述变换x→y=<(x)保持广义f2(x)0+⋯+fm(x)0(18)5x25xmPoisson括号结构不变,即那么～000JQR(y)=JQR(y)(Q,R=1,2,⋯,m)(8)L(x)xi=fi(x)(i=1,2,⋯,m)(19)此变换称为广义典则