hamilton力学的辛算法

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1、Hamilton力学的辛算法和分子动力学模拟陈敏伯中国科学院上海有机化学有机所计算化学课题组2006年10月1内容冯康对世界科学的重大贡献Euclid空间辛空间Hamilton力学的辛结构正则变换的辛结构辛算法应用实例2Schrödinger：“Hamilton原理已经成为现代物理学的基石。”Hamilton原理将不同的物理规律纳入了统一的数学形式。现在问题就归结到：怎样才能对Hamilton力学的运动方程作正确的数值计算。一切Hamilton体系的动力学演化都使辛度量保持不变，即都是辛（正则）变换。一

2、切解Hamilton方程“正确”的离散算法都应当是辛变换的。（冯康，1997年国家自然科学一等奖“哈密尔顿系统辛几何算法”）Lax：“他的声望是国际性的。”丘成桐：“中国…在数学历史上很出名的有三个：一个是陈省身教授在示性类方面的工作，一个是华罗庚在多复变函数方面的工作，一个是冯康在有限元计算方面的工作。”(1998年3月11日《中国科学报》)3“冯氏大定理”同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上是等价的；但在计算上是不等价的。冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性，将可避免人为耗散性这类算法的缺陷

3、，成为具有高保真性的算法。在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计算和分子动力学计算中得到广泛的应用。4冯康（1920－1993）的学术成就1965年发表论文“基于变分原理的差分格式”。国际学术界承认冯康独立发展了有限元方法。（仅获1982年国家自然科学二等奖。冯康得悉非常难过，曾打算将申请撤回。）前国际数学会理事长J.–L.Lions教授1981年说：“中国学者在对外隔绝的环境下独立创造了有限元，在世界上是最早之列。今天这一贡献已为全人类所共享。”1984年以后创建的“哈密尔顿系统的辛几何算法”。（1

4、991年评为国家自然科学奖二等奖。冯康获悉后撤回申请。直到1997年底，在冯康去世四年之后，终于授予了国家自然科学一等奖。）石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”5数学地位6外微分辛几何辛几何的基础是外微分形式。外微分形式是如下概念推广到高维的产物：1、作功—在场中沿某一路径所作的功；2、流量—单位时间内流体穿过某曲面的量3、面积或体积—平行四边形面积或平行六面体体积。外微分形式中有“1-形式”、“2-形式”等辛构造就是非简并的闭2-形式。7Euclid空间对称性：线性：（k为任意实数）（c

5、是V中的任意向量）非简并性：，当且仅当时才符合如下内积定义的线性空间V称为“Euclid空间”。然后就可以给出向量的长度、正交、单位向量等概念。8辛空间（SimplecticSpace）反对称性：双线性：非简并性：若向量a对于W中的任意向量b均有，则具有如下内积定义的线性空间W为“辛空间”。这种内积称为“辛内积”。9辛空间度量：作功、面积（或体积）、流量等辛内积：2维：a、b平行四边形面积2n维：单位辛矩阵：10单位辛矩阵的性质若A为对称阵，且，则证明：▌11Euclid空间和辛空间的对应关系Euclid

6、空间辛空间内积——长度内积——面积单位矩阵单位辛矩阵正交辛正交正交归一基共轭辛正交归一基正交矩阵辛正交矩阵对称变换Hamilton变换实对称矩阵的本征值均为实数若Hamilton矩阵的本征值为，则也是它的本征值实对称矩阵的不同本征值的本征向量必正交Hamilton矩阵的非辛共轭本征值的本征向量必辛正交实对称矩阵的所有本征向量组成一组正交归一基Hamilton矩阵的所有本征向量组成一组共轭辛正交归一基12Hamilton力学的辛结构13正则变换的辛结构正则变量从变换到记为：即：M辛变换：14正则变换M的性质

7、15无穷小辛阵定义：若，则该2n阶矩阵称为“无穷小辛阵”设为对称阵，当且仅当时，为无穷小辛阵。（证明略）若为无穷小辛阵，则为辛阵。若为无穷小辛阵，又若非奇异，则为辛阵16辛阵2、当且仅当和，则、都为辛阵3、是辛阵4、当且仅当，则是辛阵5、当且仅当和，则是辛阵1、是辛阵的充要条件：17线性Hamilton体系的辛差分格式线性Hamilton体系——Hamilton函数是的二次型且其中为无穷小辛阵为辛阵积分1819中点Euler法的辛格式h为时间步长因为为无穷小辛阵，且非奇异即，故步进算符为辛阵，故为辛格式。

8、20可分、线性Hamilton体系的中点Euler公式——“可分、线性Hamilton体系”21Euler中点法演绎见后页22演绎细节：23前面我们已经证明了是辛阵，所以上面算法是辛格式。24基于Padé逼近的辛格式线性Hamilton体系相流有理Padé逼近：称为“l+m阶对ex的Padé逼近”即可分体系：25用以下构造的差分格式都是辛格式*：“(1,1)逼近”，就是Euler中点格式。精度2阶4阶6阶8阶26可分线性Ham