资源描述：
《khler流形上的hamilton力学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、应用数学和力学,第27卷第3期AppliedMathematicsandMechanics2006年3月15日出版Vol.27,No.3,Mar.15,2006文章编号:1000_0887(2006)03_0316_09XK¾hler流形上的Hamilton力学张荣业(中国科学院数学研究所,北京100080)(周哲玮推荐)摘要:利用力学原理、现在微分几何理论和高等微积分把Hamilton力学推广至K¾hler流形上,建立K¾hler流形上Hamilton力学,并得到Hamilton向量场、Hamilton方程等复的数学形式#关
2、键词:K¾hler流形;联络;绝对微分;Lie导数;Hamilton向量场;1_参数群中图分类号:O313.3文献标识码:A引言Hamilton力学是分析力学的重要的组成部分#Riemann流形上的Hamilton力学已知#(见文献[1]~文献[6])#所有这些都是实的情形#复的情形如何?即是说,当力学系统的位形空间是复流形时它又怎样?当力学系统的位形空间是K¾hler流形时,我们已经建立了K¾hler流形上的Newton力学(见文献[7])#现在我们建立K¾hler流形上的Hamilton力学#1几何结构和基本运算nj设M是
3、具有联络D的K¾hler流形#在局部坐标系(U;z)下,它的度量jkh=hjkdzªdz,(1)K¾hler形式为jk8=(i/2)hjkdzCdz,(2)jjjjjj*n其中,i=-1,z=x+iy,z=x-iy#TM和TM是M的切丛和余切丛#X(M)是n1*nM上的向量场的集合;F(M)=X(M)是M上的1_形式场的集合#TM在坐标领域U上n*jjn的标架场是5j,5jj=1,TM在U上的标架场是dz,dzj=1#*我们用度量h和K¾hler形式8定义TM和TM之间的丛同构如下b:TMyT*M,5jbjkjbjkz
4、y5z
5、=(1/2)hjkdz,5z
6、y5z=(1/2)hkjdz,#=b-1:T*MyTM,dzj
7、ydzj#=2hkj5kjj#jkkz,dz
8、ydz=2h5z,8:TMyT*M,5jjkjjkz
9、y8(5z)=(i/2)hjkdz,5zy8(5z)=(i/2)hkjdz,-1*j-1jkjj-1jjk8:TMyTM,dz
10、y8(dz)=2ih5zk,dzy8(dz)=-2ih5zk#本文中,我们将用外微分,绝对微分和Lie导数#X收稿日期:2004_11_10;修订日期:2005_11_04作者简介:张荣业(1938)),男,广
11、东开平人,研究员,研究方向:微分方程,微分几何(Tel:+86_10_62588645;E_mail:zry@math.ac.cn)#316张荣业3172K¾hler流形上的Hamilton力学我们首先给出一些定义和定理,然后讨论Hamilton力学#0定义2.1PfIF(M)_0_形式场的集合,#V=dfIX(M),(3)称为由0_形式场f决定的梯度场#而-1X=8(df)IX(M),(4)j称为由f决定的Hamilton向量场#f特称为Hamilton函数#在(U;z)下5fj5fj0df=j=dz+jdz,fIF(M),
12、(5)5z5zV=df#=2hkj5f5kjk5fkjz+2hj5zIX(M),(6)5z5zX=8-1(df)=2ihkj5f5kjk5fkjz-2ihj5zIX(M),(7)5z5zsj5f5fh(V,X)=4ihsj#(8)5z5z定理2.2若f是全纯的那末由f决定的梯度场和Hamilton向量场在度量h下正交:h(V,X)=0而且X=iV#在力学中,我们一旦给出一个向量场,那末我们就已经给出了一个力学系统#因此,我们给出了一个Hamilton向量场那末我们就给出了一个Hamilton系统#我们一旦给出系统S的Lagra
13、nge函数L:TMyC那末我们已经决定了系统的运动规律和状态#同样的,我们一旦给*n出了系统S的Hamilton函数H:TMyC(或者,MyC)那末我们已经决定了系统的运动规律和状态#定义2.3向量场XIX(M)是局部Hamilton的,若形式8(X)是闭的:d8(X)=0#X是整体Hamilton的,若这个形式8(M)是完全的或者是一个函数的全微分#1-1定义2.4对XIX(M),若存在HIF(M)使得8(X)=H,则X=8(H)称为预0_Hamilton向量场#若H是某函数fIF(M)的全微分,则X称为Hamilton向量
14、场#k-1定义2.5PHIC(M,C)决定Hamilton向量场X=8(dH)的积分曲线的方程jkj5H-jjk5HÛz=-2ihk,zÛ=2ihk(9)5z5z称为Hamilton方程#*n这样,具有速度向量X在TM上运动的质点的运动方程是(9)#在K¾hler流形M上仅n
