流形上的green公式证明

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1、流形上的Green公式证明杨科中国成都610017E-mail:more2010e@sina.com摘要:Green公式是现代数学、物理体系的核心公式之一[1][3][4][5][6][7][8][9].传统的Green公式证明逻辑体系,建立了基于(平面)直角坐标系的二重积分与环路积分的公式关联.但是基于(平面)直角坐标系的二重积分存在诸多明显的缺陷(例如计算过程繁琐、非标准化,不适用于不对称、不规则的平面有界闭区域等),以致于物理、工程领域的许多重要问题二维化的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分

2、方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过简单的直角坐标系积分、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)的解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式,Остроградский-Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式[11],即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系

3、(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样几何形体的微元系数;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、极坐标系、广义极坐标系及其相关微元系数等),用积分以及和式极限的方法,证明Green公式在无穷多个任意参数曲线(流形)坐标系[单连通闭合曲线坐标系(基于Poincare猜想)]的存在,使Green公式超越传统的直角坐标系框架,建立基于个性化微元系数的二重积分与平面环路积分之间的新公式关联,并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立基于个性化微元系数的二重积分方法的

4、理论逻辑依据和数值模型."证明流形上的Green公式"本身不是唯一目的,"建立基于个性化微元系数的二重积分与平面环路积分之间的新公式关联,确立基于个性化微元系数的二重积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.本稿件相关的数值模型表明,使用基于个性化微元系数的二重积分方法,能够获得关于复杂几何形体[流形]尤其是不对称、不规则平面有界区域的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意平面有界闭区域二重积分(尤其是不对称、不规则平面有界闭区域二重积分),实现向量场(平面电场、平面磁场、平面流体场等)和数量场(平面电位

5、场、平面温度场等)在任意自由平面区域及其边界闭合路径的精确积分计算,确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的Green公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学拓扑学物理学Poincare猜想向量场数量场(平面)单连通闭合曲线坐标系流形上的Green公式证明数值模型和式极限基于个性化微元系数的二重积分方法基于个性化微元系数的二重积分与平面环路积分之间的新公式关联解析积分值任意精度浮点数积分值工程意义上的流形积分中图分类号：O17/O412.3目录引言1(参见流形上的散度公式证明引言1)引言2证明的前提条件

6、--(平面)单连通闭合参数曲线坐标系的建立...............2流形上的Green公式证明............................................7总结............................................................9参考书籍.........................................................10引言2证明的前提条件---(平面)单连通闭合参数曲线坐标系的建立(一)考察

7、证明的对象---Green公式:Green公式设平面有界闭区域S的边界曲线L由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成,如果函数P(x,y),Q(x,y)[构成平面向量场A]在平面有界闭区域S上具有一阶连续偏导数,则在公式的定义中,强调平面有界闭区域S的边界曲线L必须是"闭合"曲线在传统的直角坐标系Green公式证明中,”抽象闭合曲线L”是这样定义的:抽象闭合曲线由"a,b,y=φ1(x),y=φ2(x)"或"x=ψ1(y),x=ψ2(y),c,d"的四个边界值限定(参见《高等数学(第六版)》(下册)同济大学数学系高等

8、教育版2007P142-145)也就是说,Green公式客观上要求,不论在平面直角坐标系,或者在其它坐标系,被证明的相关曲线必须具有两种属性:(1)单连通性;(2)闭合性离开传统的平面直角坐标系,怎样刻画抽象的、具有普遍意义的”单连通闭合曲线”并且进一步建立”单连通闭合曲线坐标系”?并没有现成的答案Poincare猜想[19]断定"任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面",