流形上的散度公式证明

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1、流形上的散度公式证明杨科中国成都610017E-mail:more2010e@sina.com摘要:散度公式(又称Остроградский-Gauss公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的散度公式证明逻辑体系,建立了基于空间直角坐标系投影法(简称投影法)的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法.但是投影法存在诸多明显的缺陷(例如计算过程繁琐,不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系的

2、偏微分方程组求解基础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象[流形]的解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式,Остроградский-Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式[20],即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系,使用什么样

3、几何形体的微元系数;而不再依赖于已有的少数几个直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系及其相关微元系数等),用积分以及和式极限的方法,证明散度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系[包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)]的存在,使散度公式超越传统的直角坐标系框架,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联,并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型."证明流形上的散度公式"本身不是唯一

4、目的,"建立基于参数化空间点积法的曲面积分与基于个性化微元系数的三重积分之间的新公式关联,确立两种新型的积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.本系列稿件相关的数值模型表明,使用基于参数化空间点积法的曲面积分以及基于个性化微元系数的三重积分,能够获得关于复杂几何形体[流形](尤其是不对称、不规则曲面及其包含空间区域)的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分以及任意空间区域三重积分,实现向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)和数量场(电位场、温度场、密度场等)在任意自由曲面及其包含空间区域的精确积分计算,确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的散度

5、公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学拓扑学物理学Poincare猜想向量场数量场自由参数曲面坐标系单连通可定向闭合参数曲面坐标系复连通可定向闭合参数曲面坐标系基于参数化空间点积法的曲面积分基于个性化微元系数的三重积分流形上的散度公式证明数值模型和式极限两种类型积分的新公式关联工程意义上的流形积分解析积分值任意精度浮点数积分值中图分类号：O17/O412.3目录引言1...........................................................2引言2证明的前提条件—-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立..........

6、.........4流形上的散度公式证明...............................................10总结...........................................................13参考书籍........................................................14引言1散度公式(又称Остроградский-Gauss公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13]

7、[14][15][16][17].传统的散度公式证明逻辑体系,建立了基于空间直角坐标系投影法(简称投影法)的曲面积分与三重积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法.投影法的基本思路是将三维欧氏空间区域中的曲面积分,转化为某一空间直角坐标平面上的二重积分,以间接的方式达到目的.投影法的缺陷是明显的:第一,积分曲面在某一坐标平面的投影区域不能有重叠,这就决定了积分曲面只能是非常简单的函数曲面;在现实世界和物理、工程领域更为普遍存在复杂参数曲面,投影法则无能为力;第二,投影法通常要求积分曲面具有某种对称性(点对称、轴对称和面对称等[2]),计算诸如"以三维坐标