流形上旋度公式证明

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1、-流形上的旋度公式证明杨科中国成都610017E-mail:more2010e@sina.com摘要：旋度公式(又称Stokes公式)是现代数学、物理体系的核心公式之一.传统的旋度公式证明逻辑体系,建立了基于空间直角坐标系投影法(简称投影法)的曲面积分与空间环路积分的公式关联,确立了投影法为曲面积分的根本方法.但是投影法存在诸多明显的缺陷(例如计算过程繁琐;不适用于不对称、不规则曲面等),以致于物理、工程领域的许多重要问题(例如电磁学领域的Maxwell方程组实例化和流体力学领域的任意不规则控制面积分)的解决途径,均建立在直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组求解基

2、础上.一个多世纪以来的数学、物理和工程实践已经证明,通过投影法、直角坐标系或其它坐标系的偏微分方程组,难于甚至不能获得关于复杂几何对象(流形)的解析解、数值解;传统的流形微积分学,用外微分形式推导出Green公式,Остроградский-Gauss公式,Stokes公式,乃至关于n维空间积分的广义Stokes公式[20],即但是这类用外微分形式推导出的公式只具有抽象的理论意义,并没有揭示积分的具体实现过程,更无具体数值模型可言;本稿件通过建立与具体几何对象(流形)匹配的个性化坐标系(即有什么样的几何形体,就建立什么样几何形体的坐标系;而不再依赖于已有的少数几个

3、直角坐标系、球面坐标系、柱面坐标系、广义球面坐标系等),用积分以及和式极限的方法,证明旋度公式在无穷多个任意参数曲面(流形)坐标系[包括单连通可定向闭合曲面坐标系(基于Poincare猜想)和复连通可定向闭合曲面坐标系(环面坐标系)]的存在,使旋度公式超越传统的直角坐标系框架,建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联,并且在无限丰富、绚丽的公式数值模型运算中实现两种类型积分相互验证,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型."证明流形上的旋度公式"本身不是唯一目的,"建立基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积

4、分之间的新公式关联,确立新型的基于参数化空间点积法的曲面积分方法的理论逻辑依据和数值模型"是根本目的.本稿件相关的数值模型表明,使用基于参数化空间点积法的曲面积分,.---能够获得关于复杂几何形体[流形,尤其是不对称、不规则(非闭合)曲面]的解析积分值或任意精度浮点积分值;实现任意曲面积分,实现向量场(电场、磁场、流体场、引力场等)在任意自由空间区域(闭合路径、非闭合曲面)的精确积分计算,确立两种类型积分的逻辑关联关系,实现流形上的旋度公式和工程意义上的流形积分.关键词:微积分学拓扑学物理学Poincare猜想向量场自由参数曲面坐标系单连通可定向闭合参数曲面坐标系

5、复连通可定向闭合参数曲面坐标系基于参数化空间点积法的曲面积分流形上的旋度公式证明数值模型和式极限基于参数化空间点积法的曲面积分与空间环路积分之间的新公式关联工程意义上流形积分解析积分值任意精度浮点数积分值中图分类号：O17/O412.3目录引言1(参见流形上的散度公式证明引言1)引言2证明的前提条件——-单连通可定向闭合曲面坐标系的建立(参见流形上的散度公式证明引言2)流形上的旋度公式证明...............................................2总结.......................................

6、.....................6参考书籍..........................................................7流形上的旋度公式证明:旋度公式设光滑或分片光滑的有向曲面S的正向边界L+为光滑或分段光滑的闭合曲线.如果函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)[构成向量场A]在有向曲面S上有一阶连续偏导数,则(1)其中rotA为向量场A的旋度,n为有向曲面S的单位外法向量.---证明:定义任意单连通、可定向闭合曲面S的参数表达式:[asin(u)cos(v),bsin(u)sin(v),ccos

7、(u)](2)其中a,b,c为非零常数或一阶可导连续函数表达式,单连通、可定向闭合曲面S决定a,b,c的取值;设定参数u,v的变化范围[0,/n-],[0,2],其中n为任意常数,并且n1;为任意常数或连续函数表达式,并且/n-<,使曲面S非闭合.(参见Poincare猜想:"任何与n维球面同伦的n维闭合流形必定同胚于n维球面")[18]定义边界曲线L的参数表达式:[cos(v),sin(v),](3)]其中,,为依存于a,b,c的常数(0,0)或一阶可导连续函数表达式;因为参数v的变化范围为[0,2],边界曲线L闭合.(即[cos(v),sin(v)],v[0,

8、2]构成依