微分流形上积分学——流形上stokes公式

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1、微分流形上积分学——流形上Stokes公式复旦力学谢锡麟2016年4月21日1知识要素1.1单位1分解引理1.1.设U;VRm为开集,且VU,则9ϕ(x)2Cc1(Rm),满足:8>>>>>:ϕ(x)2[0;1];8x2Rm:如图1所示.UV"yV1Xm""VUXXmV2"V"X1X1OO微分流形上积分学图1:单位1分解示意证明由于VU,则有d(V;U)=:>0,故可作V",fx2Ujd(x;V)6"g;"≪;以及∫ϕ"(x):=j"V"(x),j"(yx)V"(y)dyRm∫()∫()1yx

2、1yx=j(y)dy=j(y)dy;"m"V""m"V"RmB"(x)1微分流形上积分学——流形上Stokes公式谢锡麟此处(y)表示集合V"的特征函数,j(y)2Cc1(Rm)À满足V"∫j(y)2[0;1];8y2Rm;j(y)dy=1:Rm由微积分,易见ϕ"(x)2Cc1(Rm)满足8>>>>>:ϕ"(x)2[0;1];8x2Rm:定理1.2(单位1分解(PartitionofUnity)).设MRm为有界闭集(紧致集),fUigNi=1Rm为M的任意一个有限开覆盖,则9fi(x)

3、gNi=1Cc1(Rm)满足:1.suppi(x)Ui;i=1;


;N,2.i(x)2[0;1];8x2M,∑N3.i(x)1;8x2M.i=1证明对8x2M,可作B2x(x)Ui;i=1;


;N,自然有∪∪∪NMBx(x)B2x(x)Ui:x2Mx2Mi=1mN~由于MR为有界闭集,按有限覆盖定理9fBj(xj)gj=1,满足∪N~∪N~∪NMBj(xj)B2j(xj)Ui:j=1j=1i=1故9fVigNi=1为M的开覆盖,满足ViUi;i=1;


;N.按引理1.1,对每一对fVi;Uig;i=1;

4、;N,可作ϕi(x)2Cc1(Rm),满足:8>>>>>:微分流形上积分学ϕi(x)2[0;1];8x2Rm:故可作ϕi(x)1mi(x),2Cc(R);i=1;


;N;∑Nϕj(x)j=1∑N现有ϕj(x)>0;8x2M,满足:j=1À具体的函数形式可参考:Zorich.MathematicalAnalysis,Vol.2.Springer-VerlagBerlinHeidelberg,2004;Dubrovin,Fomenko,Novikov.ModernGeometry-MethodsandA

5、pplications,Vol.2.Beijing:BeijingWorldPub-lishingCorporation,1999.2微分流形上积分学——流形上Stokes公式谢锡麟1.suppi(x)Ui;i=1;


;N,2.i(x)2[0;1];8x2M,∑N3.i(x)1;8x2M.i=1基于相对于地图册的单位1分解,一方面可将流形上的微分学及积分学处理限制于某个坐标卡所覆盖的流形上的一部分区域;另一方面,可综合各个坐标卡所覆盖的区域至整个流形.基于单位1分解,可将??,??中按坐标卡定义的流形上第一类,第二类积分推广至整个流形À.1.2流形

6、上的Stokes公式U=ϕ(Im+1)微分流形Xm+1m+1xU=ϕ(Im+1)m+1UR中方块Im+1xmXm@UU@X1Oxm+1x1OxmRm+1中方块Im+111ϕ(U@)ϕ(U)x1Oϕ1(U)图2:流形上Stokes公式示意定理微分流形上积分学1.3(流形上的Stokes公式).设!(X)是Rm+1中m维可定向曲面/流形上的(m1)-形式,则有∫∫(1)m!=d!;@@的定向由流形M诱导.证明如图2所示,设fϕ(x)2C1(Im+1;U=:ϕ(Im+1))gN=1为Rm+1的一个地图À可参考:Dubr

7、ovin,Fomenko,Novikov.ModernGeometry-MethodsandApplications,Vol.2.Beijing:BeijingWorldPublishingCorporation,1999.3微分流形上积分学——流形上Stokes公式谢锡麟册.设f(X)2C1(;R)gN=1为相对于的有限开覆盖fUgN=1的一个单位1分解,则有()∑N∑N∑N!(X)=(X)!(X)=(X)!(X)=:!(X):=1=1=1按积分的线性性,仅需证明成立关系式∫∫!=d!;=1;


;N@UU再由∫∫!=ϕ!;@U1ϕ

8、(@U)∫∫∫d!=