多元函数最值的求解策略

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1、１１８数学通讯———２０１１年第７、８期（上半月）·课外园地·多元函数最值的求解策略安振平（陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心，７１２０００）多元函数最值问题是高中各级各类数学竞赛２２２－槡１０２０（３ｔ－６ｔ）≥０，即２ｔ－４ｔ－３≤０，解得的热门话题，总结求解策略，探求解答通性通法，２整合该类竞赛试题，将对参加数学竞赛的师生提２＋槡１０≤ｔ≤．供有益的课程资源．２１．配方变形法故ｘ＋ｙ的最大值是２＋槡１０，应填１＋槡１０．２２例１（２００８年河北高中预赛题）已知ａ＞ｂ，２２点评：用到了代入法消元、判别式

2、法消元．ａ＋ｂａｂ＝１，则的最小值是（）ａ－ｂ练习：（２００６年上海高中竞赛题）设ｘ，ｙ，ｚ是（Ａ）２槡２．（Ｂ）槡２．（Ｃ）２．（Ｄ）１．正实数，满足ｘｙ＋ｚ＝（ｘ＋ｚ）（ｙ＋ｚ），则ｘｙｚ的最大值是．解利用配方法，得２２２２１ａ＋ｂａ－２ａｂ＋ｂ＋２ａｂ（答案：．提示：由条件等式解出ｙ，代入ｙ＝＝２７ａ－ｂａ－ｂ（ａ－ｂ）２＋２２ｘｙｚ里，消去ｙ，再变形后用三元均值不等式．）＝＝（ａ－ｂ）＋ａ－ｂａ－ｂ３．换元转化法例３（２００８年浙江高中预赛题）已知ｆ（ｘ）２）２＝（槡ａ－ｂ－＋２槡２，２２２２２槡ａ－ｂ

3、＝ｘ＋（ａ＋ｂ－１）ｘ＋ａ＋２ａｂ－ｂ是偶函数，２则函数图象与ｙ轴交点的纵坐标的最大值是当槡ａ－ｂ＝，且ａｂ＝１，ａ＞ｂ，即ａ＝槡ａ－ｂ（）槡６＋槡２，ｂ＝槡６－槡２时，ｙ，应选（Ａ）．（Ａ）槡２．（Ｂ）２．ｍｉｎ＝２槡２２２（Ｃ）２槡２．（Ｄ）４．点评：配方法是数学解题的通性方法，它可以解因为函数ｆ（ｘ）是偶函数，所以ａ２２＋ｂ－分离出非负的代数关系．其实，二元均值不等式就２２１＝０，即ａ＋ｂ＝１，令ａ＝ｃｏｓθ，ｂ＝ｓｉｎθ，则函是配方的结果呀！数图象与ｙ轴交点的纵坐标ａ２２２＋２ａｂ－ｂ＝ｃｏｓθ练习：（

4、２００８年陕西高中预赛题）若实数ｘ，ｙ２＋２ｓｉｎθｃｏｓθ－ｓｉｎθ＝ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎ２θ＝槡２ｃｏｓ（２θ２２２ｘｙ满足ｘ＋ｙ＝１，则的最小值是．ｘ＋ｙ－１－π）≤槡２，故选（Ａ）．４（答案：１－槡２．提示：２ｘｙ＝ｘ２２＋ｙ＋２ｘｙ－点评：这里的三角换元，其实就是圆的参数２１＝（ｘ＋ｙ）－１．）方程．２．消元化简法练习：（２００８年甘肃高中预赛题）若实数ｘ，ｙ例２（２００９年江西高中预赛题）实数ｘ，ｙ满２２ｘ＋ｙ－３足２ｘ２＋３ｙ２＝６ｙ，则ｘ＋ｙ的最大值是．满足（ｘ－３）＋４（ｙ－１）＝４，则ｘ－ｙ＋

5、１的最大解设ｘ＋ｙ＝ｔ，得ｙ＝ｔ－ｘ，代入条件２ｘ２值和最小值分别为．２２２＋３ｙ＝６，消去ｙ得２ｘ＋３（ｔ－ｘ）＝６（ｔ－ｘ），（答案：１，－１．提示：用三角换元求解．）变形得关于ｘ的一元二次方程５ｘ２＋６（１－ｔ）ｘ＋４．数形结合法２３ｔ－６ｔ＝０．例４（２００４年福建预赛题）如果实数ｘ，ｙ满因为ｘ是实数，所以判别式３６（１－ｔ）２２２－足３ｘ＋２ｙ－１≥０，那么ｕ＝ｘ＋ｙ＋６ｘ－２ｙ的·课外园地·数学通讯———２０１１年第７、８期（上半月）１１９最小值为．ｘ＝槡５－１时，ｆｍａｘ＝ｆ（槡５－１）＝５槡５－

6、１１．于解将目标函数变形为ｕ＝（ｘ＋３）２２２２＋（ｙ－２１）－１０，这表示半平面３ｘ＋２ｙ－１≥０内的点到５５－１１１３－５槡５是Ｔ≤槡，从而Ｓ≥，定点（－３，１）的距离的平方与１０的差．由于半平２２面３ｘ＋２ｙ－１≥０内的点到定点（－３，１）的最小当ａ＝ｂ＝槡５－１时等号成立，所以，Ｓ的最２值为点（－３，１）到直线３ｘ＋２ｙ－１＝０的距离ｄ＝１３－５槡５－９＋２－１＝８，于是，ｕ的最小值为ｕ小值为．ｍｉｎ＝２槡１３槡１３点评：对多元函数的表示式变形后，舍去了非（８）２－１０＝－６６，应当填－６６．负项，求得

7、了最大值；用二元均值不等式放大后，槡１３１３１３通过换元，把二元问题转化为一元问题，再构造函点评挖掘问题当中隐藏的几何意义，实现数，用求导法求最小值．显然，在整个解题思维的数和形的有效结合．过程里，“放大”和“缩小”起到了有效的作用．练习：（２００８年湖北高中预赛题）已知三个正练习：（２００８年河南高中预赛题）设０＜ｘ＜数ａ，ｂ，ｃ满足ａ≤ｂ＋ｃ≤３ａ，３ｂ２≤ａ（ａ＋ｃ）≤２１，０＜ｙ＜１，且（１－ｘｙ）＝２（１－ｘ）（１－ｙ），则５ｂ２，则ｂ－２ｃ的最小值是．１ａ函数ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ（１－ｘｙ）的最大值为

8、．２１８ｂｃ（答案：－．提示：令ｘ＝，ｙ＝，则有（答案：５槡２－７．提示：设ｔ＝ｘｙ，则ｔ∈（０，５ａａ１≤ｘ＋ｙ≤３，１），由题设有１－ｔ≤槡２（１－槡ｔ），得０≤ｔ≤３－２烄２２，而目标函数为ｕ＝ｘ－２ｙ．）１烅３ｘ≤１＋ｙ≤５ｘ槡２，ｆ（ｘ，ｙ）＝ｔ（１－ｔ）．）２烆ｘ＞０，ｙ＞０．６．待定系数法５．放大缩小法例６（２００９年浙江高中预赛题）实数ｘ，ｙ，ｚ例５（２００６年上海高中