十八、几何证明选讲1(选修4-1)

十八、几何证明选讲1(选修4-1)

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1、十八、几何证明选讲(选修4-1)1.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=cm.解析:,由直角三角形射影定理可得2.(2010北京理数12)如图,的弦ED,CB的延长线交于点A。若BDAE,AB=4,BC=2,AD=3,则DE=;CE=。答案:5,3.(2010天津文数11)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P。若PB=1,PD=3,则的值为.【答案】【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质,属于容易题。因为A,B,C,D四点共

2、圆,所以,因为为公共角,所以⊿PBC∽⊿PAB,所以=【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补,圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容,也是考查的热点。4.(2010天津理数14)如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若,则的值为。【答案】【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质,属于中等题。因为A,B,C,D四点共圆,所以,因为为公共角,所以4⊿PBC∽⊿PAB,所以.设OB=x,PC=y,则有,所以【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补,圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容,也是

3、考查的热点。5.(2010广东理数14)如图3,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,∠OAP=30°,则CP=______.解析:.因为点P是AB的中点,由垂径定理知,.在中,.由相交线定理知,,即,所以.6.(2010广东文数14)如图3,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,CB,AB=AD=,CD=,点E,F分别为线段AB,AD的中点,则EF=解:连结DE,可知为直角三角形。则EF是斜边上的中线,等于斜边的一半,为.7.如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙上一点,弧,交于,且,则_______

4、ACPDOEFB8.(2010湖南理数10)49.(2010辽宁理数22)如图,的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E(I)证明:(II)若的面积,求的大小。证明:(Ⅰ)由已知条件,可得因为是同弧上的圆周角,所以故△ABE∽△ADC.……5分(Ⅱ)因为△ABE∽△ADC,所以,即AB·AC=AD·AE.又S=AB·ACsin,且S=AD·AE,故AB·ACsin=AD·AE.则sin=1,又为三角形内角,所以=90°.10分10.(2010江苏卷21)AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC,求

5、证:AB=2BC。[解析]本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。(方法一)证明:连结OD,则:OD⊥DC,又OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO,∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO,所以∠DCO=300,∠DOC=600,所以OC=2OD,即OB=BC=OD=OA,所以AB=2BC。(方法二)证明:连结OD、BD。因为AB是圆O的直径,所以∠ADB=900,AB=2OB。因为DC是圆O的切线,所以∠CDO=900。4又因为DA=DC,所以∠DAC=∠DCA,于是△ADB≌△CDO,从而AB=CO。即

6、2OB=OB+BC,得OB=BC。故AB=2BC。4

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