选修4－1 几何证明选讲

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1、选修4－1　几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质基础盘查一　平行线分线段成比例定理(一)循纲忆知了解平行线截割定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理)．(二)小题查验1．判断正误(1)梯形的中位线平行于两底，且等于两底和(　　)(2)若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行(　　)答案：(1)×　(2)√2.如图，F为▱ABCD的边AD延长线上的一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，则BE的长为________．解析：由DF＝AD，

2、AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.答案：83.(人教A版教材习题改编)如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，则BC的长为________cm.解析：∵⇒E为AD中点，M为BC的中点，又EF∥BC⇒EF＝MC＝12cm.∴BC＝2MC＝24cm.答案：24基础盘查二　相似三角形的判定及性质(一)循纲忆知理解相似三角形的定义与性质，会证明并应用直角三角形射影定理．(二)小题查验1．判断正误(1)在△ABC中，AD是BC边上的高，若AD2＝BD·CD，则∠A为直角(　　)(2)在直

3、角三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AD，则BC2＝BD·AB(　　)(3)若两个三角形的相似比等于1，则这两个三角形全等(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√2.(人教A版教材习题改编)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是________．解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝.∵＝2，∴＝，∴＝，故＝.答案：

4、(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推

5、论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．[提醒]　在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误．[题组练透]1.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，求的值．解：如图，过点D作DM∥AF交BC于点M.∵点E是BD的中点，∴在△BDM中，BF＝FM.又点D是AC的中

6、点，∴在△CAF中，CM＝MF，∴＝＝.2．如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝，求△DEF的边长．解：设DE＝x，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，又DE∥BC，则＝＝，∴＝＝，解得x＝.3.如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求＋的值．解：由平行线分线段成比例定理得＝，＝，故＋＝＋＝＝1.[类题通法]对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似来构建相应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点来作辅助线，建立三

7、角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．

8、(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．相似三角形的判定定理判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质定理性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．[提醒]　在解决相似三角形的判定或应用时

9、易出现对应边和对应角的对应失误．[典题例析]如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．解：(1)因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠BCE.又因为AD＝AC，所以∠ADC＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如图，过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以＝2＝4.又因为S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因为S△ABC＝B

10、C·AM，BC＝10，所以20＝×10×AM，所以AM＝4.因为DE∥AM，所以＝.因为DM＝DC＝，BM＝BD＋DM，所以＝，解得DE＝.[类题通法]证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有