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时间:2020-06-17
《选修4-1 几何证明选讲.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、[真题感悟][考题分析]1.(1)相似三角形的判定定理判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.(2)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;②相似三角形周长的比等于相似比;③相似三角形面积的比
2、等于相似比的平方.(3)直角三角形的射影定理:直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项;斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.2.(1)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数.3.(1)圆内接四边形的性质定理:①圆的内接四边形的对角互补;②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.(2)圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.4.(1)圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)圆
3、的切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.(4)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.(5)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.5.证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似,若不相似,则进行线段替换或等比替换.6.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相等的角,找相似三角形,从而得出线段的比.由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算,所以应
4、注意代数法在解题中的应用.【例1】如图,BD、CE是△ABC对应边上的高.求证:△ADE∽△ABC.热点一相似三角形的判定及性质[规律方法](1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线段相等.【训练1】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E,F分别是AB,BC的中点,EF与BD相交于点M.若DB=9,则BM=________.答案3证明:(1)∠ACE=∠BCD;(2)BC2=BE·CD.[规律方法]在证明角
5、或线段相等时,要注意等量代换.在证明线段的乘积相等时,通常用三角形相似或圆的切割线定理.【训练2】如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB.证明:(1)CD=BC;(2)△BCD∽△GBD.证明(1)如图,因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连接AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(2)因为FG∥BC,故GB=CF
6、.由(1)可知BD=CF,所以GB=BD.∴∠BGD=∠BDG,由BC=CD知,∠CBD=∠CDB.又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.【例3】如图,AB是⊙O的直径,C,F为⊙O上的点,AC是∠BAF的平分线,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点,CM⊥AB,垂足为点M.证明:(1)DC是⊙O的切线;(2)AM·MB=DF·DA.热点二“四定理”——相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用证明(1)如图,连接OC,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.又∵AC是∠BAF的平分线,∴∠DAC=∠O
7、AC.∴∠DAC=∠OCA.∴AD∥OC.又CD⊥AD,∴OC⊥CD,即DC是⊙O的切线.(2)∵AC是∠BAF的平分线,∠CDA=∠CMA=90°,∴CD=CM.由(1)知DC2=DF·DA,又CM2=AM·MB,∴AM·MB=DF·DA.[规律方法]已知圆的切线时,第一要考虑过切点和圆心的连线得直角;第二应考虑弦切角定理;第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理.【训练3】如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC·EB.证明因为AE是圆的切线,所以∠A
8、BC=∠CAE.又因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD.从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.因为∠ADE=∠ABC+∠BAD,∠DAE=∠CAE+∠CAD,所以∠ADE=∠DAE,故EA=ED.因为EA是圆的切线,所以由切割线定理知,EA2
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