选修4-1几何证明选讲培训资料.ppt

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1、选修4-1几何证明选讲如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.一、平行线等分线段定理ABCA1B1C1l2l1l3图1图2ABCA1B1C1l1l3l2？？AEBCF推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。符号语言：∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB∴AF=FC推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。？？ABCDEF符号语言：∵在梯形ABCD中，AD∥EF∥BC，AE=EB∴DF=FCADBCE例1:D、E分别是△ABC中AB边和

2、AC边的中点.求证:DE//BC且FE′作DE//BCE与E重合作DF//ACBF=FC=DE二、平行线分线段成比例定理除此之外，还有其它对应线段成比例吗？ABCDEFl1l2l3ll?反比合比合比反比合比平行线等分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.l2l3l1l3ll推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？ABCDEFABCDEF结论：后者是前者的

3、一种特殊情况！例2：如图,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,BC=8.求BF和CF的长.FACB分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.解∵DE//BC∵DF//ACDE例3：如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD.求证:AD是AB和AF的比例中项.FEBACD分析:分别在△ABC及△ADC中利用平行线分线段成比例定理的推论证明∴AD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中项例4：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形,所截得的三角形的三边与

4、原三角形的三边对应成比例.FEBACD已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、EDE//BCEF//ABDE=BF如图,直线l1,l2被三个平行平面,,所截,直线l1与它们的交点分别为A,B,C,直线l2分别为D,E,F探究：三相似三角形的判定及性质1.相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数).BACACB判定两个三角形相似的简单方法(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三

5、角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似.BACACB如何证明？EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，则在△ABC中有：∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE为ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延长线于F△ADE∽△ABC预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.AECBDEBACD判

6、定定理1对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述:两角对应相等,两三角形相似CBA已知,如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,∠B=∠B,求证:△ABC∽△ABCABCDE证明:在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点E.由预备定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=AB∴△ADE≌△ABC∴△AB

7、C∽△ABCABCCBADE判定定理2对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似ABCCBADE已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A,求证:△ABC∽△ABC△ADE≌△ABC?DE//BC△ABC∽△ADECBADE已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且求证：DE//BCE证明:作DE//BC,交AC于E∴AE=AE因此E与点E

8、重合即DE与DE重合,所以DE//BC采用了“同一法”的间接证明引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法用同一法解题一般有三个步骤：①先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；②根据唯一性，证明所作出的图形与已知