《7.4 二项式定理》导学案

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1、《7.4二项式定理》导学案学习目标重点、难点1．理解并掌握二项式定理的项数、系数、二项式系数、通项的特征，熟记它的展开式；2．能应用展开式的通项公式求展开式中的特定项；3．掌握二项展开式的有关性质，能利用展开式的性质计算和证明一些简单问题.重点：二项式定理及通项公式．难点：二项式定理的实际应用.1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋an－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共n＋1项，其中an－rbr叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝an－rbr

2、.(r＝0,1，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．预习交流1你是如何理解和记忆二项式定理的？提示：二项式定理是一个恒等式，左边是二项式幂的形式，右边是二项式的展开式，各项的次数都等于二项式的幂的次数为n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.2．二项式系数的性质及应用一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：①C＝C；②C＋C＝C；③当r＜时，＜C，当r＞时，C＜；④C＋C＋C＋…＋C＝2n.预习交流2如何说明C－C＋C－C＋…＋(－1)n·C＝0.提示：利用赋值法，令公式中的a＝1，b＝－1，展开就会

3、得到上式．在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、二项式定理求4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理展开，注意每一项都符合通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：解法一：4＝C(3)40＋C(3)31＋C(3)22＋C(3)3＋C(3)04＝81x2＋108x＋54＋＋.解法二：4＝4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.求二项式10的展开式中的常数项．解：设第r＋1项为常数项，则(x2)10－r·r＝·r(r＝0,1，…，10)，令20－r＝0得r＝8，所以

4、第9项为常数项，常数项为C8＝.利用二项式定理求展开式中某特定项，通常的做法是先确定通项公式中的r的值或取值范围，但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系．二、二项式系数的性质及应用如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7＝__________.思路分析：比较展开式与a1＋a2＋…＋a7结构，会发现当x＝1时，含有a1＋a2＋…＋a7，即(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，从而只要知道a0即可．答案：－2解析：令x＝0得(1－2×0)7＝a0，∴a0＝1.再令x＝1，则有(1－2×1)7＝a0＋a1＋a2

5、＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－1－1＝－2.设(1－2x)2012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2012x2012(x∈R)．(1)求a1＋a3＋a5＋…＋a2011的值．(2)求

6、a0

7、＋

8、a1

9、＋

10、a2

11、＋…＋

12、a2012

13、的值．解：(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2012＝32012.①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2012＝(－1)2012＝1.②由①②，得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2011)＝1－32012，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2011＝.(2)∵Tr＋1

14、＝12012－r·(－2x)r＝(－1)r(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)．∴

15、a0

16、＋

17、a1

18、＋

19、a2

20、＋

21、a3

22、＋…＋

23、a2012

24、＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2012＝32012.求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值需根据展开式系数的特征来定，一般地，多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为，偶数项系数的和为.1．n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值为__________．答案：5解析：Tr＋1＝(2x3)n－rr＝2n－r··x3n－5r.令3n－5

25、r＝0，又∵0≤r≤n，r，n∈Z，∴n的最小值为5.2．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是__________．答案：2解析：(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5，故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x.3．5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于__________．答案：2解析：Tr＋1＝xr5－r＝a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4.∴C·a＝10，解得a＝2.4．在20的展开式中，系数是有理数的项共有多少项？解：Tr＋1＝(x)20－rr＝r·()

26、20－r··x20－r.∵系数为有理数